Qn(t) f(x,t)Yn(x)dx P (x l/2)sinknxdx Psin(knl/2) Psin(n /2)

ll

b Y(x)dx sinknxdx 2(1 cos2knx)dx l/2

l

2

n

l

2

l

所以主坐标φn(t)满足

2

n n n

Qn(t)2Pn

sin

b l2

④

已知单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应，即方程mx kx F0的解为

所以④式的解为 系统响应

F01 k2P1n n(t) sin 1 cos nt 2

l n2x(t)

2P 1n n

y(x,t) Yn(x) n(t) 1 cos tsinsinx n2

ln 1 n2ln 1

---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------

8.5 当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t = 0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。 解：（首先进行自由振动分析。） 振型函数 ① Y(x) C1coskx C2sinkx C3coshkx C4sinhkx 其中k4 2边界条件

A

EI

Y(0) 0, Y (0) 0, Y(l) 0, Y (l) 0 ② ③

①式代入②式得振型函数Yn(x) Cnsinknx, kn n /l （再进行受迫振动分析。） 微分方程

2y 4y

A2 EI4 P (x vt)

t x

n 1

设响应y(x,t) Yn(x) n(t)，其中振型函数Yn(x) sinknx, kn n /l。于是

Qn(t) f(x,t)Yn(x)dx P (x vt)sinknxdx Psin(knvt) Psin(n vt/l)

ll

b Yn2(x)dx sin2knxdx 1(1 cos2knx)dx l/2

lll

所以主坐标φn(t)满足

2 n n n

Qn(t)2Pn v

sint Ab All

④

相当于单自由度系统受简谐激励的响应，所以④式的解为

2P1 n v n n(t) sin t sin t, 其中 , k n nn 22 Al n nll （注：此为包含特解和通解的全响应） 系统响应

2

2P 1 n

y(x,t) Yn(x) n(t) sin t sin tsinx n 22 Aln 1 n nln 1

---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------

注：在8.4和8.5题的受迫振动分析时，振型函数都写为Yn(x) sinknx，而不是

Yn(x) Cnsinknx。事实上，不论Cn取任何值都不会影响最后的结果。所以为了计

算简便，既可以令Cn=1，也可以令b Yn2(x)dx 1，而求出Cn。

0l