全响应解为

n(t)

1l1

YF(x)dxsin t sin tnn 22 0 b n n

Qn(t)1

1 cos nt 2 b n

当f(x,t) F(x)阶跃激励时，式(12)的解为 n(t)

类似地，梁的弯曲振动微分方程

2y 4y

A2 EI4 f(x,t)

t x

n 1

(13)

令y(x,t) Yn(x) n(t)，代入式(13)，经过一系列处理，得

llQn(t)

(14) , Qn(t) Ynf(x,t)dx, b Yn2dx

00 Ab

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 解题步骤

1 自由振动分析

①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数； ②写出边界条件；

③把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。 2 受迫振动分析

①写出激励f (x, t)的表达式；

②通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Yn(x)； ③计算Qn(t)和b，得到式(12)或(14)，求解主坐标φn(t)。

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.1 求阶梯杆纵向振动的频率方程。

2

n n n

U1(x) C1coskx D1sinkx, 0 x l1

解：振型函数：U(x) ，其中k

U(x) Ccoskx Dsinkx, l x l2212

2

边界条件： U1(0) 0

① ② ③

C1 0

D2 C2tank(l1 l2)

D1sinkl1 C2coskl1 D2sinkl1

dU2(l1 l2) 0

dx

连续性条件：U1(l1) U2(l1)

EA1

dU1(l1)dU2(l1)

EA2 A1D1coskl1 A2 D2coskl1 C2sinkl1 ④ dxdx

D1tankl1 C2 1 tankl1tank(l1 l2) ②式代入③式得 ②式代入④式得 所以频率方程 即

D1 C2 tank(l1 l2) tankl1 A2/A1

1 tankl1tank(l1 l2) tankl1 tank(l1 l2) tankl1 A2/A1

A1tank(l1 l2) tankl1

tankl1tankl2 A21 tankl1tank(l1 l2)

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.2 长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在Is<<I0的情形下校验频率方程的正确性。 解：设扭转角 (x,t) Q(x)ei t。

2 (x,t) 2 (x,t) (x,t) (x,t)

GI, J GI边界条件：J0 s 0 s 22

x x 0 x x L t x 0 t x L

J0 2Q(0) GIsQ (0), J0 2Q(L) GIsQ (L) 所以 ①