机械振动习题解答（四）·连续系统的振动

连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析

杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程

2

2y2 y c (1) 22 t x

此式为一维波动方程。式中，对杆，y

为轴向变形，c ；对轴，y为扭转

角，c y

为弯曲挠度，c

令y(x,t) Y(x)ei t，Y(x)为振型函数，代入式(1)得

式(2)的解为

Y k2Y 0, k /c Y(x) C1coskx C2sinkx

(2) (3)

将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn，及对应的振型函数Yn(x)。可能的边界条件有

对杆，轴向力EA y/ x 0

固定端Y 0, 自由端 Y 0

对轴，扭矩 GI y/ x 0 p

类似地，梁的弯曲振动微分方程

(4)

振型函数满足 式(6)的解为

2y 4y A2 EI4 0

t x

EI

Y(x) C1coskx C2sinkx C3coshkx C4sinhkx

(5) (6) (7)

Y(4) k4Y 0, k4 2

A

梁的弯曲挠度y(x, t)，转角 y/ x，弯矩M EI 2y/ 2x，剪力

Q M/ x EI 3y/ 3x。所以梁的可能的边界条件有

固定端Y Y 0，简支端Y Y 0，自由端Y Y 0

2 受迫振动

杆的受迫振动微分方程（轴和弦类似）

(8)

2y 2y

2 E2 f(x,t) t x

n 1

(9)

令y(x,t) Yn(x) n(t)，其中振型函数Yn(x)满足式(2)和式(3)。代入式(9)得

Yn n E Yn n f(x,t)

n 1

n 1

(10)

考虑到式(2)，式(10)可改写为

Yn n E kn2Yn n f(x,t)

n 1

n 1

(11)

对式(11)两边乘以Ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得

2

n Yn2dx Ekn n Yn2dx Ynf(x,t)dx

l

l

l

llQn(t) n n , Qn(t) Ynf(x,t)dx, b Yn2dx

00 b

2

n

(12)

当f(x,t) F(x)ei t简谐激励时，式(12)的稳态响应解为

Qn(t)1l11i t

n(t) YF(x)dxe n2222 0 b n n b