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（18）

【证明】(I)设，则在上连续，且，，由介值定理可知存在，使，即．(II)设，则在上连续，在内可导，且

又由罗尔定理可知，存在，使得

【详解】（I）由题意可知总利润函数，令

，解得。

又产量和不受限制，所以计算表明当时可获得最大利润，且最大利润为

，即为所求．

（II）由题意得．

此时可引入拉格朗日函数，令

，解得，。

【证明】设，

则F(x)在[0，1]上的导数连续，

并且，

由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减．

又，

=，

所以F(1)=0.

因此时，，由此可得对任何，有

【详解】因为线性方程组（i）、（ii）有公共的非零解，所以它们的联立方程组（iii）有

非零解，即（iii）系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得，所以．

且．

此时可解方程组，得，即为（iii）的一个非零解．

又，所以构成（iii）的基础解系。因此，（i）和（ii）的全部公共解为（其中k

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（22）

【详解】（I），可知．

（II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以

，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.

，得矩阵B的特征值，

也即矩阵A的特征值为

（III）对应于，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系

，；

对应于，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系

令矩阵，则

又因为，

令矩阵

=，

则P即为所求的可逆矩阵．

（23）

【详解】因为，相互独立，所以，的联合密度函数为：

当时，，

当时，

当时，

所以

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