【Step 1】：将区间[0,pi]分成n 等份即取i n

x π∆=，取每个区间右端点

为i ξ，并计算积分和1

()sin i

n

i

i S n e n

ξπ

ξ==

∑；

【Step 2】：画出被积函数()sin x f x e x =的图形和S(n)所表示的面积； 【Step 3】：改变n ，重复Step1和Step2。 【程序】：【Integral.m 】 【项目4】二重积分定义的几何演示

演示二重积分22

,:||1,||12D

x y I dxdy D x y +=-≤≤⎰⎰（）的积分和变化过程

（极坐标和直角坐标）。 【原理】：

二重积分的定义为：0

1

(,)lim (,)n

i i i i D

f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰。

【直角坐标系】：体积微元的底面面积为i i j x y σ∆=∆⨯∆，上式变成

1

(,)lim (,)n

i

i

i

j

i D

f x y d f x y λ

σξη→==∆∆∑⎰⎰

【步骤】：（直角坐标）

【Step 1】：对区域:||1,||1D x y ≤≤进行划分成m n ⨯等份即取

22

,i j m n

x y ∆=∆=，取每个矩形的右上角点为(,)i j ξη，则 22

1*,1,2,...,;1*,1,2,...,i j m n i i m j j n ξη=-+==-+=

积分和22

1122(,)2

m n i j

i j S m n m n ξη==+=-⨯∑∑；

【Step 2】：画出22

(,)2

x y f x y +=-的图形和S(m,n)所表示的体积；

【Step 3】：改变m,n ，重复Step1和Step2。 【程序】：【DoubleIntegral.m 】

【项目5】旋转曲面的生成[2]