1 第一章_张量初步及应力、应变基本方程

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张量初步及应力、 第一章 张量初步及应力、应变基本方程1.1 张量初步 1.2 一点的应力状态 1.3 最大(最小)剪应力 1.4 应力张量的分解 1.5 八面体应力、等效应力 1.6 应力圆和洛德(Lode)参数 1.7 应力空间 1.8 应力路径 1.9 应变张量的分解 1.10 应变空间与应变π平面 1.11 各种剪切应变间的关系 1.12 应力和应变的基本方程

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1.1 张量初步力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性 的物理量称为标量 标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、 标量 密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量 矢量， 矢量 常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( ) ( ) r( r r 和力F( )等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为 r F 张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应 张量 力状态可以用应力张量σ( )表示，它具有二重方向性，是 σ 二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。

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x3=z u3(uz)

矢量可以在参考直 角坐标系下分解，以位 移矢量u为例，它可以 表示成位移分量ux、 uy 、 u uz与基矢ex、 ey 、 ez的 乘积之和的形式：e3( k ) u (u ) 1 x e1 ( i ) o e ( j ) 2 x1=x

u u2(uy) x2=y

图1.1 位移矢量的分解3

u = u x ex + u y e y + u z ez = u1e1 + u2 e2 + u3e3 = ∑ ui eii =1

(1-1)

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指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不 指标 同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i,j,k,···均表示三维指标，取值1,2,3,例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号 指标符号。 指标符号 指标符号的正确用法： 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x,y和z。 指标符号可缩写成xi ,其中x1= x, x2= y, x3= z。

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(2) 矢量a和b的分量可分别记为ai 和bi ,它们的点积 点积为： 点积a b = axbx + a y by + az bz = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑ ai bii =1 3

(1-2)

引入爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中， 求和约定： 求和约定 某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值 范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标 哑指标，或简称哑标 哑标。 哑指标 哑标 用哑标代替求和符号∑,则位移矢量u和点积a·b可表 示成：u=uiei,a·b=aibi。显然，aibi =biai,即矢量点积的 顺序可以交换：a·b= b·a;由于哑标 哑标仅表示遍历求和，因 哑标 此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。

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(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为： E µ e + ε x = λ ( ε x + ε y + ε z ) + 2Gε x σ x = 1 + µ 1 2µ E

µ σ y = e + ε y = λ ( ε x + ε y + ε z ) + 2Gε y 1 + µ 1 2µ σ = E µ e + ε = λ ( ε + ε + ε ) + 2Gε y x y z y z 1 + µ 1 2µ E τ = γ = Gγ xy = 2Gε xy xy 2 (1 + µ ) xy E τ yz = 2 (1 + µ ) γ yz = Gγ yz = 2Gε yz E γ zx = Gγ zx = 2Gε zx τ zx = 2 (1 + µ )

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采用张量，则物理方程可表示：

σ ij = 2Gε ij + λε kk δ ij

(1-3)

i和j为自由指标 自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系 自由指标 式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：

σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z σ 12 = τ xy , σ 23 = τ yz , σ 31 = τ zx σ 21 = τ yx , σ 32 = τ zy , σ 13 = τ xz

ε11 = ε x , ε 22 = ε y , ε 33 = ε z ε12 = ε xy , ε 23 = ε yz , ε 31 = ε zx ε 21 = ε yx , ε 32 = ε zy , ε13 = ε xz

k为哑标， ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33 = ε x + ε y + ε z δij为Kronecher符号：δij =1(i=j), δij =0(i≠j),根据场论，δij可 以表示两个基矢的点积：δij =ei· ej 注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。

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自由指标和哑标举例： 自由指标和哑标举例：abi = ∑abi = ab + a2b2 + a3b3 1 1 i i3 i =1 3

aijbj = ∑aijbj = ai1b + ai2b2 + ai3b3 1aijbcj = ∑∑aijbcj = a11bc1 + a12bc2 + a13bc3 i i 1 1 1i=1 j =1

j =1 3

3

+ a21b2c1 + a22b2c2 + a33b2c3 + a31b3c1 + a32b3c2 + a33b3c32 2 2 2 a = ∑aii = a11 + a22 + a33 2 ii j =1 3

σii ) = ∑σii = (σ11 +σ22 +σ33 )2 (2

3

3

2

i=1

σijεij = ∑∑σijεij = σ11ε11 +σ12ε12 +σ13ε13i=1 j =1

3

+σ21ε21 +σ22ε22 +σ23ε23 +σ31ε31 +σ32ε32 +σ33ε33

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δij 的应用与计算示例如下：(1) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3 (2) δijδij = δ11δ11 +δ12δ12 +δ13δ13 +δ21δ21 +δ22δ22 +δ23δ23

+δ31δ31 +δ32δ32 +δ33δ33 = (δ11)2 + (δ22 )2 + (δ33 )2 = 3(3) δijδ jk = δi1δ1k +δi2δ2k +δi3δ3k = δik (4) aijδij = a11δ11 + a22δ22 + a33δ33 = aii (5) aiδij = a1δ1 j + a2δ2 j + a3δ3 j = aj (6) σij nj σ ni = σij nj σδij nj = (σij σδij )nj

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(4) 指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线 元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2 可以写成： (ds)2= dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微 分可写成 df = f dxi 。 xi σ x τ …… 此处隐藏：1381字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……