5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 【杨高】

第五章 三角比

5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去

这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 2 2 2 c a b 2 a b co s C 另一种形式：a b c 2 b c co s A2 2 2

cos A cos B

b c a2 2

2

b a c 2 a c co s B2 2 2

2bc a c b2 2 2

C

bA

a2

2accos C a b c2 2

c

B

2ab

b 例1.在 A B C 中， 6 0, c 3 4, A (角度精确到 1 ,边长精确到1)

41

求a,C , B .

解： a

2

b c 2 b c co s A2 2

6 0 3 4 2 6 0 3 4 co s 4 1 1 6 7 6 .7 82 2

a 41

cos C

a b c2 2

2

1 6 7 6 .7 8 6 0 3 42

2

2ab C 33

2 1 6 7 6 .7 8 6 0

0 .8 4

B 180 ( A C ) 180 (41 33 ) 106

解毕

例2.在 A B C 中，已知 a 角及其面积(精确到0.1) 解:cos C

3, b 2, c

19

,求各1 2

a b c2 2

2

3 2 ( 19 )2 2

2

2ab

2 3 22

C 120

同理，得 c o s

A

b c a2 2

0 .5 9 6 A 3 6 .6

2bcB 1 8 0 ( A C ) 1 8 0 (1 2 0 3 6 .6 ) 2 3 .4

S

1 2

a b s in C

1 2

3 2

3 2

2 .6

解毕

课堂练习 1.解三角形(角度精确到 1 ,边长精确到1cm)

(1) b (2)

5 cm , c 2 cm , A 6 0

a 1 0, b 2 4, c 2 6

2.已知三角形三边之比为 3 : 5 : 7 ,求最大内角.a 3.已知 A B C 中， 8, b 7 , B 6 0

,求 c2

a 4.在 A B C 中， C 是锐角，求证：

b c2

2

课堂练习答案 1.(1) a (2) 4 cm , B 9 7 , C 2 3

A 23 , B 67 , C 90

2. 1 2 0 3.解： a b c 2 b c c o s A2 2 2

c 8c 15 02

解得 c1

3, c 2 5

4.证： a

2

b c 2 a b co s C 02 2 2 2

a b c2

证毕

解三角形 一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做

三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形.利用余弦定理及其变形 可以解决以下两类解三角形问题：

(I)已知两边及夹角，求夹角的对边； (II)已知三边，求角. (III)已知两边及一边的对角，求边.