线性代数简明教程方小娟科学出版社第三章习题答案

时间：2025-04-23

烟台大学用

第三章向量空间习题答案

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1.设 v = (1, 1,1)T , v = (2,1,3)T , v = (2,1,3)T , 设 1 2 3 求 v1 v2 , 及 3v1 2v2 + v3 . 解：

v1 v2 = (1, 2, 1)T3v1 2v2 + v3 = (5, 4,2)T

2.设 3(α1 α ) + 2(α 2 + α ) = 5(α 3 + α ) 设3α1 3α + 2α 2 + 2α = 5α 3 + 5α3α1 + 2α 2 5α 3 = 5α + 3α 2α = 6α 1 α = (3α1 + 2α 2 5α 3 ) = (1,2,3,4)T 6

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3.判别下列向量组的线性相关性：判别下列向量组的线性相关性：判别下列向量组的线性相关性方法一) (方法一)定义法 x 令： 1α1 + x2α 2 + x3α 3 = , 代入讨论 x1 , x2 , x3 解的情况 (方法二)求秩法方法二)(α1 , α 2 , α 3 ) →

行的阶梯形是否等于3 求 R(α1 , α 2 , α 3 ) 是否等于

行变换

方法三) (方法三)行列式法是否等于0 求 α1 , α 2 , α 3 是否等于

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4.同书上例题，令同书上例题，同书上例题

x1b1 + x2b2 + x3b3 = ,

线性无关，代入 b1 , b2 , b3 , 利用 α1 , α 2 , α 3 , 线性无关，讨论 x1 , x2 , x3 , 是否全为0 是否全为 5.利用定义能相互表出即等价利用定义能相互表出即等价 1 1 1 1 ( β1 , β 2 , β 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以T是可逆的 T = 4 ≠ 0 所以是可逆的 T = 1 1 1 1 1 1

令

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( β1 , β 2 , β 3 )T 1 = (α1 , α 2 , α 3 )所以两组之间相互表出即等价 6. 1 0 2 0 (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) → 0 1 0 3 0 0 0 0

所以 α1 , α 2 , 是向量组的一个极大无关组其余向量表示为 α 3 = 2α1 , α 4 = 3α 2

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方法一) 7. (方法一) (已知已知) 已知

ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n 线性表出定理) (定理) α1 , α 2 Lα n 能由 ε 1 , ε 2 Lε n 线性表出α1 , α 2 Lα n 与 ε 1 , ε 2 Lε n 等价R(α1 , α 2 Lα n ) = R(ε 1 , ε 2 Lε n ) = n

α1 , α 2 Lα n 线性无关方法二) (方法二) ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n线性表出 n = R (ε 1 , ε 2 Lε n ) ≤ R (α1 , α 2 Lα n ) ≤ n R(α1 , α 2 Lα n ) = n (无关) 无关)

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方法一) 8. (方法一)

a 1 (已知 α 4 = aα1 + bα 2 α 2 = α1 + α 4 已知) 已知 b b ac c α 5 = α1 + dα 3 + α 4 b b R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) < 4再令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 =

x1α1 + x2α 3 + x3 (aα1 + bα 2 ) = ( x1 + ax3 )α1 + bx3α 2 + x2α 3 =

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因为 α1 , α 2 , α 3 线性无关

x1 + ax3 = 0 bx3 = 0 x =0 2

x1 = 0 x2 = 0 x = 0 3

α1 , α 2 , α 4 线性无关R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) = 3

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(1)α1 , α 3 , α 4 , α 5 一定可由 α1 , α 2 , α 3 线性表出 (2)α 2 = aα1 + α 4 ,

方法二) (方法二)

α1 , α 2 , α 3 也可由 α1 , α 3 , α 4 , α 5 线性表出 α1 , α 2 , α 3 与 α1 , α 3 , α 4 , α 5 等价R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) = R(α1 , α 2 , α 3 ) = 3

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1 0 0 a 0 (方法三) 方法三) 0 1 0 b c (α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) ~ 0 0 1 0 d M M M M M 1 0 a 0 0 0 b c (α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) ~ 0 1 0 d 1 a 0 0 M M M M 0 b 0 c ~ 0 0 1 d M M M M

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由于 a, b, c, d

均不为0 均不为

R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) = 3方法四) (*方法四)令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 + x4α 5 = 方法四

( x1 + ax3 )α1 + (bx3 + cx4 )α 2 + ( x2 + dx4 )α 3 = x1 + ax3 = 0 x1 = ax3 b bx3 + cx4 = 0 x4 = x3 x + dx = 0 c 4 2 x = bd x 2 c 3

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9.解：(方法一) 解方法一)

R( A) = R( B) = 1 R( AB) ≥ 1 R( AB) ≤ min{R( A), R( B)} 1 ≤ R( AB) ≤ 1 R( AB) = 1

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1 2 AB = (1 2 L n ) M n 1 L 1 n n 2n 2(n 1) L 2 = M M M M n n 1 L 1 n 2 n(n 1) L n 0 L 0 0 ~ M M M M R( AB) = 1 0 0 L

(方法二) 方法二)

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