第一章命题逻辑的基本概念

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第一部分 数理逻辑第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理

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第一章 命题逻辑的基本概念1.1 命题与联结词 命题及其分类 联结词与复合命题 1.2 命题公式及其赋值

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基本概念 命题

1.1 命题与联结词

指非真即假的陈述句

命题的真值

判断的结果，分为真和假

真值为真的命题称为真命题，真值为假 的命题称为假命题。 注意：感叹句、祈使句、疑问句都不 是命题陈述句中的悖论，判断结果不惟一 确定的不是命题。

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例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2 是有理数. 假命题 (2) 2 + 5 = 7. 真命题 (3) x + 5 > 3. 不是命题 (4) 你去教室吗？ 不是命题 (5) 这个苹果真大呀！ 不是命题 不是命题 (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪. 命题，但真值现在不知 道

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定义 由简单句构成的命题称为简单命题；由简

单命题和联结词构成的命题称为复合命题。

简单命题不含逻辑联结词，它不能再分割为其它的陈述句。

复合命题由简单命题和逻辑联结词组成的陈述句。

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简单命题符号化

用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i 1)表示简单命题,用“1”或“T”表示真， 用“0”或“F”表示假.例如，令

p: 2 是有理数，则 p 的真值为0,q:2 + 5 = 7,则 q 的真值为1

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复合命题符号化：(需要用联结词将其联结)(1)否定“ ┐”定义 设 p是命题，复合命题“非p”或“ p的

否定” 记为“┐ p”.符号“ ┐”称为否定联结词，念“非”。 注意：若 p为1,则 ┐p为0,其真值表如下：p 0 1 ┐p 1 0

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(2)合取“ ∧ ”定义 设p、q是命题，复合命题“p与q”、“p且q”记为“p ∧ q”,符号“ ∧” 称为合取联结词，念"且”.

常见合取是 “不但…而且”、“虽然…但是”、“既…又”、“且”等等。p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q

规定p∧q为真当且仅当 p为真而且q为真，合取真值表：

0 0 0 1

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例2 将下列命题符号化. (1) p q (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (2) p q (3) 吴颖虽然聪明，但不用功. (3) p q (4) 张辉与王丽都是三好生. (4) p q (5) 张辉与王丽是同学.解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明

(4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 (5) p:张辉与王丽是同学

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(3)析取“∨ ”定义 设p,q是命题。则复合命题，“p 或者q”,记为“p∨q”。符号“∨” 称为析取联结词。规定： p q 为真当且仅当p为真或q为真。p q 0 1 0 1 P∨q 0 1 1 1

析取的真值表如右：

0 0 1 1

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例3 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (1) p q

(2) p q (2) 2 或 3 是素数. (3) p q (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.

解 (1) 令p:2是素数, q:4是素数, (2) 令p:2是素数, q:3是素数, (3) 令p:4是素数, q:6是素数,

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解 (4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨 (p q) ( p q) (5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年, (p q) ( p q) 或 p q

(1)—(3) 为相容或 (4)—(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式， 而(4)则不能

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(4)蕴含 “→ ”

定义7.1.6 设p,q是命题，则复合命题“如果

p,则q”,记为“p→ q”。符号“→”蕴含

联结词，p称蕴含式的前件，q称蕴含式后件。 常见的蕴含联结词有： “如果…那么”、“如…则”、“只要… 就”等等 。

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P→q 的真值如右表 格：

p q P→q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 由表可知： 1 1 p q 为假当且仅当p为真而q为假。 注意：如果前件p为假，则无论后件q取何真值 ，一般地认为： p→q为真。

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只要p,就有q. P仅当q. 只有p,才q. 除非p,才有q. 除非p,否则没有q.

p→q p→q q→p

q→pq→p