第29届全国中学生物理竞赛复赛答案

第29届全国中学生物理竞赛复赛答案

一、

由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为

2b f b x g ρ= (x b ≤) (1)

式中g 为重力加速度.物块的重力为

3g f b g ρ'= (2)

设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有

3g b b a f f ρ'=- (3)

将(1)和(2)式代入(3)式得

g a x b b ρρρρ'⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭

(4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为 X x b ρρ'=-

(5) 把(5)式代入(4)式得

g a X b

ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为

0x b ρρ

'= (7) 物块运动方程在X 系中可写为

()()cos X t A t ωϕ=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为

()()sin V t A t ωωϕ=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率

'g b

ρωρ= (10) 在(8)和(9)式中A 和ϕ分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得

(0)X b ρρ

'=- (11) (0)0V = (12)

由(8)至(12)式可求得

A b ρρ

'= (13) ϕ=π (14)

将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得

()()cos X t b t ρωρ

'=+π (15) ()()sin V t gb t ρωρ

'=-+π (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为

b 1X X b ρρ'⎛⎫==- ⎪⎝

⎭ （17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意

到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论：

I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得

ρρ'≥2 (18)

在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物

块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期

22b T g ρωρ'π=

=π (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间

I 2b t T g

ρρ'==π

(20) II ．b A X >. 由(13)和(17)两式得

2ρρ'< (21) 在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间1t 物块刚好全部浸入湖水中，这时()1b X t X =. 由(15)和(17)式得

()1cos 1t ρρωρρ

''+π=- (22) 取合理值，有 1arccos 1b t g ρρπρρ⎡⎤'⎛⎫=--⎢⎥ ⎪'⎝⎭⎣⎦

(23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为

21()1-1V t g b ρρρρ'⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭ (24)

此后，物块在液体内作匀减速运动，以a '表示加速度的大小，由牛顿定律有

a g ρρρ

'-'=' (25) 设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为2t ，有

()120V t a t '-= (26)

由(24)-(26)得

2

211()b t g ρρρρρρρ''⎛⎫=-- ⎪''-⎝⎭ (27) 物块从初始位置出发往返一次所需的时间为

2

II 1222()2arccos 111()b b t t t g g ρρρρρπρρρρρρ⎡⎤'''⎛⎫⎛⎫=+=--+--⎢⎥ ⎪ ⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (28)

评分标准：

本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，

（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.

二、

1.

i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为r ，卫星在此点的速度为v .由开普勒第二定律可知 ()2

0.80r R ωv = (1) 式中e (2/)T ωπ=为地球自转的角

速度.令m 表示卫星的质量，根

据机械能守恒定律有 ()222110.80220.80GMm GMm m m R r R

ω-=-v （2） 由（1）和（2）式解得

0.28r R ≈ (3)可见该点为近地点,而脱离处为远地点.

【（3）式结果亦可由关系式： R 0.80R

a

b

()2210.800.8020.80GMm GMm m R r R R

ω-=-+ 直接求得】

同步卫星的轨道半径R 满足…… 此处隐藏：8167字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……