2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案

高二数学（理科）试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知i 是虚数单位，复数22i z i

=

+，则z = A. 2455i -+ B. 2455i + C. 2455i - D. 2455i -- 2.由直线,,066x x y π

π

=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为

A. 12

B. 1

C. 2

3.已知随机变量ξ服从正态分布()

22,N δ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<= A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2

4.对于函数()22ln ex k f x x x x =

+-，若()11,f '=则k = A. 2e B. 3e C. 2e - D. 3

e - 5.某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有

A. 2354A A ⨯种

B. 2354A ⨯ 种

C. 2354C A ⨯种

D. 2354C ⨯种

6.()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭

的展开式的常数项是 A. 3- B. 3 C. 2- D.2

7.已知函数()x

x b f x e +=在区间(),2-∞上为单调递增函数，则实数b 的取值范围是 A.()1,1- B. [)0,1 C. ()1,+∞ D.(]

,1-∞- 8.袋子中放有大小、性质完全相同的4个白球和5个黑球，如果不放回地依次摸出2个球，则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为

A. 58

B. 518

C. 59

D.49

9.六个人从左到右排成一行，最右端只能排甲或乙，最左端不能排乙，则不同的排法种数共有

A. 192

B. 216

C. 240

D.288

10.已知函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是

A. (),0-∞

B. ()0,+∞

C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

D.()0,1

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.

11.设随机变量38,4X

B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()D X = . 12.若()99829821012x a x a x a x a x a -=++

+++， 则1289a a a a ++

++= . 13.用0,1,2,,9十个数字，可以组成没有重复数字的三位数的偶数个数为

.

14.已知整数对按如下规律排成，

照此规律，则第68个数对是 .

15.已知曲线()21:0C y tx t =>与曲线2:x C y e =在()0,+∞上存在公共点，则t 的取值范围为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分

12分)

已知n x ⎛ ⎝

的展开式中的第二项和第三项的系数相等. （1）求n 的值；

（2）求展开式中所有二项式系数的和；

（3）求展开式中所有的有理项.

17.(本小题满分12分)

医院到某社区检查老年人的体质健康情况，从该社区全体老人中，随机抽取12名进行体质

健康测试，测试成绩（百分制）如下：65,78,90，86,52,87,72,86,87,98,88,86.根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良.

（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列和期望.

18.(本小题满分12分)

如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面

11A ACC ⊥底面ABC ，且13A AC π∠=

，点O 为AC 的中点.

（1）求证：AC ⊥平面1AOB ； （2）求二面角1B AC B --的余弦值.

19.(本小题满分12分)

某大型企业招聘会的现场，所有应聘者的初次面试都由张、王、李三位专家投票决定是否进入下一轮测试，张、王、李三位专家都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个应聘者面试时，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类的概率均为13

，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该应聘者初次面试获得“通过”，否则该应聘者不能获得“通过”.

（1）求应聘者甲的投票结果获得“通过”的概率；

（2）记应聘者乙的投票结果所含“通过”和“待定”票的票数之和为，求得分布列和数学期望.

20.(本小题满分13分)

某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛.在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分.假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为211,,323，他们的竞赛成绩相互独立.

（1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；

（2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.

21.(本小题满分13分)

已知函数()()()()()2

l n 1,,

.2x f x x x g x k f x x k R =--=-+∈ （1）求曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线方程；

（2）求函数()g x 的单调区间；

（3）当()13,1,k x e <<∈时，求证：()()3

1ln 32g x >-+.