高考数学新增分大一轮 第四章 三角函数、解三角形 4.1

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§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

考情考向分析 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以填空题为主，低档难度．

1．任意角

(1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．

(3)弧度制

①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

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②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l

r ，l 是以角

α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．

③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180

π

度． ④弧长公式：l ＝|α|r . 2．任意角的三角函数

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．

则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x (x ≠0)．

三个三角函数的性质如下表：

3.三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .

MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；AT 为正切线

概念方法微思考

1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律． 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．

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缘份让你看到我在这里 2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？

提示 设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

(x ≠0)．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )

(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ )

(3)不相等的角终边一定不相同．( × )

(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )

题组二 教材改编

2．[P10T6]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．

答案 －5π4

二 3．[P14例1]若角α的终边经过点Q ⎝⎛⎭

⎫－22，22，则sin α＝________，cos α＝________. 答案 22 －22

4．[P10T8]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为________弧度．

答案 π3

题组三 易错自纠

5．在0到2π范围内，与角－4π3

终边相同的角是________． 答案 2π3

解析 与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3(k ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3

终边相同的角是2π3

. 6．已知点P ⎝⎛

⎭⎫32

，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 答案 11π6

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缘份让你看到我在这里 解析 因为点P ⎝⎛⎭⎫32

，－12在第四象限， 所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－123

2

＝－33， 又θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以θ＝11π6

. 7．函数y ＝2cos x －1的定义域为____________________________．

答案 ⎣

⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0，

∴cos x ≥1

2

. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

∴x ∈⎣

⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋

π3(k ∈Z )．

题型一 角及其表示

1.已知角α

的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________________．

答案 ⎝

⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π，

∴所求角的集合为⎝

⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．

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缘份让你看到我在这里 2．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么集合M ，N 的关系是________．

答案 M ⊆N

解析 由于M 中，x ＝k 2

·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4

·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . 3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．

答案 ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 解析 如图，

在坐标系中画出直 …… 此处隐藏：6736字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……