第四章 空间力系和重心

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第四章 空间力系和重心第一节 力在空间直角坐标轴的投影 第二节 空间力偶理论 第三节 空间力系的平衡问题 第四节 物体的重心

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教学目的和要求空间力系是力系中最复杂最一般的情况， 空间力系是力系中最复杂最一般的情况，前面所讲 的各种力系都是它的特殊情况， 的各种力系都是它的特殊情况，学习时主要掌握对 空间力系的简化和平衡条件， 空间力系的简化和平衡条件，并能应用平衡方程解 决问题。 决问题。对于重心根据合力矩定理导出了确定物体 重心的普遍公式， 重心的普遍公式，重点掌握重心位置的确定几种常 用方法——积分法、组合法和实验法。 积分法、 用方法 积分法 组合法和实验法。

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教学重点力在空间直角坐标轴的投影； 力在空间直角坐标轴的投影； 力对轴的矩； 力对轴的矩； 空间力系的平衡方程和应用； 空间力系的平衡方程和应用； 重心位置的确定方法。 重心位置的确定方法。

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教学难点力对轴的矩； 力对轴的矩； 空间力系平衡方程的应用； 空间力系平衡方程的应用； 重心位置确定的一般计算公式和积分计算。 重心位置确定的一般计算公式和积分计算。

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车 床 主 轴 手摇钻 飞行的飞机

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空间力系的分类

空间任意力系

空间平行力系

空间汇交力系

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第一节1.直接投影法 直接投影法

力在空间直角坐标轴的投影

力F与三个坐标轴所夹的锐角分别为α、β、γ, 则力F 在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦， 该方法称为直接投影法或一次投影法。

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Fx = Fcosα Fy = Fcosβ Fz = F cosγ 由于

cos α + cos β + cos γ = 12 2 2

若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz,也可求出力 的大小和方向，即

F = Fx + Fy + Fz Fy Fx Fz cosα = ,cosβ = ,cosγ = F F F 2 2 2

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2.间接投影法 间接投影法 先将力投影到坐标面上，然后再投影到坐标轴上，称为 间接投影法或二次投影法。 若已知力F与z轴的夹角为γ,力F 和z轴组成的平面与x轴 的夹角为 ,可先将力F 在Oxy平面上投影，然后再把这 个投影分力向x、 y 轴进行投影。

Fx = F sinγ cos Fy = F sinγ sin Fz = F cosγ

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第二节一、力对轴的矩

空间力偶理论

力F与三个坐标轴所夹的锐角分别为α、β、γ, 则力F 在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦， 该方法称为直接投影法或一次投影法。

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门上作用一力F,使其绕固定轴z转动。可以将F 分解为F1和 F2, 分力F1对z轴之矩就是力F对z轴之矩,即

O

b F1 A x

y

a

FF2

M z ( F ) = M z ( F1 ) = ± F1h

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力矩方向的判定

右手螺旋法则：用右手的四指来表示 力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴 正向相同

,力矩为正，反之为负。

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二、合力矩定理 对某一轴之矩， 空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分力 F1,F2,…,Fn对同一轴之矩的代数和。表达式为 对同一轴之矩的代数和。

M x ( FR ) = M x ( F1 ) + M x ( F2 ) + + M x ( Fn )或者简写为

M x ( FR ) = ∑ M x ( F )

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第三节

空间力系的平衡问题

空间力系的简化 与平面任意力系的简化方法一样，空间力系也可以简化为 一个合力和一个力偶。 FR ' = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz ) 2

M o = [∑ M x (F )]2 + [∑ M y (F )]2 + [∑ M z (F )]2空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件为

FR′ = 0

Mo = 0

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平衡方程为

∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0 ∑ M ( F ) = 0 ∑ M ( F ) = 0 ∑ M (F ) = 0 x y z

空间任意力系平衡的必要和充分条件是： 空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有力在任意 相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的投影的代数和等于零， 相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的投影的代数和等于零， 以及力系对于这三个坐标轴的矩的代数和分别等于零。 以及力系对于这三个坐标轴的矩的代数和分别等于零。

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例4-1 如图所示的机构，已知T1=250N,T2 =150N,皮带轮B 直径D=150mm,柱齿圆轮节圆D直径D1=25mm,压力角 α= 30°,求力F的大小及A、C处的反力。