(4)xzdxdy xydydz yzdzdx 其中 是平面x 0 y 0 z 0 x y z 1

所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧

解 1 2 3 4 其中 1、 2、 3是位于坐标面上的三块

4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x

显然在 1、 2、 3上的曲面积分均为零 于是

dxyydy dyzzdzd xxzdxdy xydydz yzdzdx xzdx

4

(xycos yzcos xzcos )dS

4

(xy yz xz)dS 3 [xy (x y)(1 x y)]dxdy 1 8D 4xy

4 把对坐标的曲面积分

其中 y P(x,y,z)dyd zQ(x,y,z)dzd xR(x,y,z)dxd化成对面积的曲面积分

(1) 是平面3x 2y 2z 6在第一卦限的部分的上侧

解 令F(x,y,z) 3x 2y 2z 6 上侧的法向量为

n (Fx,Fy,Fz) (3, 2, 2)

单位法向量为

(co s,co s,co s) 1(3, 2, 2) 5

于是 Qzdzd xRdxd y (Pcos Qcos Rcos )dS Pdyd

1(3P 2Q 2R)dS 5

(2) 是抛物面z 8 (x2 y2)在xOy面上方的部分的上侧

解 令F(x y z) z x2 y2 8 上侧的法向量

n (Fx Fy Fz ) (2x 2y 1)