习题五

1 计算下列对坐标的曲面积分

(1) x2dydz 其中 为球面x2 y2 z2 1在第二卦限部分的外侧

解 : x y2 z2 后侧 Dyz y2 z2 1 于是

d (1 r2)rdrxdyd z (1 y z)dyd z 0 082221

Dyz (2) xy2z2dxdy 其中 是球面x2 y2 z2 R2在x 0部分的后侧

解 的方程为x R2 y2 z2 Dyz y2 z2 R2 于是

2222222 yz( R y z)dyd zxyzdxdy Dyz

2 d r2co2s r2sin R2 r2 rdr 00

2 R12 sin2 d R2 r2r5dr 2 R7 040105

(3) (y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy 其中 是圆锥面x2 y2 z2(0 z h)的外

2 R

表面

解 外侧的法向量为n (2x 2y 2z) 2(x y z) 单位法向量为

s,co s,co s) (co y1(x, y, z) 1(x, , 1) zzx2 y2 z2

由两类曲面积分之间的关系 有

(y z)dyd z(z x)dzd x(x y)dxd y

[(y z)cos (z x)cos (x y)cos ]dS

1[(y z) x (z x) y (x y)( 1)]dS 10dS 0 zz2