2017-2018学年高中数学苏教版必修4学案：第2章 章末分层突破 Word版含解析正式版

章末分层突破

[自我校对]

①坐标 ②平行四边形 ③|a |＝a 2

④cos θ＝a·b |a||b |

其中平面向量基本定理及向量共线定理是考查的重点，解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形．

如图2-1所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与

CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.

图2-1

【精彩点拨】 先由C ，E ，M 三点共线⇒AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →，由B ，E ，

N 三点共线⇒AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →，再由AB →，AC →不共线求λ，μ的值．

【规范解答】 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .

由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，

1－μ＝λ3，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝35，μ＝45， ∴AE →＝25a ＋15b .

[再练一题]

1．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．

【解】 ∵k a ＋2b ＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝(14，－4)，

由(k a ＋2b )∥(2a －4b )得

(k －6)×(－4)－(2k ＋4)×14＝0，

解得k ＝－1.

1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，

2.(1)设a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2； (2)两向量a ，b 夹角θ的余弦(0≤θ≤π)，

cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21·x 22＋y 22

.

设向量OA →＝a ，OB →＝b ，且|OA →|＝|OB →|＝4，∠AOB ＝60°.

(1)求|a ＋b |，|a －b |；

(2)求a ＋b 与a 的夹角θ1，a －b 与a 的夹角θ2.

【精彩点拨】 利用|a ±b |＝(a ±b )2求解；利用cos θ＝a·b |a||b |求夹角．

【规范解答】 (1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )(a ＋b )＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48，

∴|a ＋b |＝43，

∴|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝16，

∴|a －b |＝4.

(2)∵(a ＋b )·a ＝|a |2＋a·b ＝16＋4×4cos 60°＝24，

∴cos θ1＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝2443×4

＝32. ∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.

∵(a －b )·a ＝|a |2－a·b ＝16－4×4cos 60°＝8，

∴cos θ2＝(a －b )·a |a －b ||a |＝84×4＝12.

∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°. [再练一题]

2．已知c＝m a＋n b，c＝(－23，2)，a⊥c，b与c的夹角为2π

3，b·c＝－4，

|a|＝22，求实数m，n的值及a与b的夹角．【解】∵c＝(－23，2)，∴|c|＝4，

又a⊥c，∴a·c＝0.

∵b·c＝|b||c|cos 2π

3＝|b|×4×⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

1

2＝－4，

∴|b|＝2，

又c＝m a＋n b，∴c2＝m a·c＋n·b·c，∴16＝－4n，∴n＝－4.

又a·c＝m a2＋n a·b，

∴0＝8m－4a·b.①

又b·c＝m a·b＋n·b2，

∴m a·b＝12.②

由①②得m＝±6，

∴a·b＝±2 6

∴cos θ＝±26

22×2＝±

3

2，∵θ∈[0，π]

∴θ＝π

6或5π

6.

向量的加

减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．

如图2-2，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB 的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

图2-2

【精彩点拨】 欲证AD ⊥CE ，即证AD →·CE →＝0.由于已有CA →·CB →＝0，故考虑

选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．

【规范解答】 法一：记CA →＝a ，CB →＝b ，

则AB →＝b －a ，且a·b ＝0，|a |＝|b |.

因为AD →＝CD →－CA →＝12b －a .

CE →＝AE →－AC →＝23(b －a )＋a ＝23b ＋13a ，所以

AD →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋13a ＝13

b 2－13a 2＝0. 可得AD ⊥CE .

法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2，

则C (0,0)，A (2,0)，B (0,2)，

因为D 是CB 的中点，则D (0,1)．

所以AD →＝(－2,1)，AB →＝(－2,2)

又CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋23AB →＝(2,0)＋23(－2,2)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，43，所以AD →·CE →＝(－2,1)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，43＝(－2)×23＋43＝0，因此AD ⊥CE . [再练一题]

3.如图2-3，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力G 的物体，绳子与

铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：

图2-3

(1)|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况．

(2)当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围．

(3)当|F 1|＝2|F 2|时，求角θ的值．

【解】 (1)由力的平衡原理知，G ＋F 1＋F 2＝0，作

向量OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OA →＋OB →＝OC →，∴

四边形OACB 为平行四边形，如图．

由已知∠AOC ＝θ，∠BOC ＝π2，

∴|OA →|＝|OC →|cos θ，|OB →|＝|AC →|＝|OC →|tan θ.

即|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ，θ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，π2. 由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于 …… 此处隐藏：7435字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……