三角形的心(5)

连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。

连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得

∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. 则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3， 向量OG*3=向量OH 所以O、G、H三点共线