三角形的心(2)

已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O

求证：O点在BC的垂直平分线上

证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO

∵EO垂直平分AC，∴AO=CO

∴BO=CO

即O点在BC的垂直平分线上

三角形的外心的性质

1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

6.S△ABC=abc/4R

编辑本段三、三角形的内心

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 三角形的三条角平分线必交于一点

己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB 证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF ∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB

三角形的内心的性质

1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

编辑本段四、三角形的垂心

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

三角形的三条高必交于一点

已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F