弹塑性力学题库与答案

第二章 应力理论和应变理论

2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及

6.768 6.77(MPa)

题1-3图

30

x y

21

3 2 3.598 3.60(MPa)

22

sin2 xycos2

10 4

sin60 2cos60

2

代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ

xy = +2

30

x y

2

(

x y

2

)cos2 xysin2

10 4 10 41 cos60 2sin60 7 3 2222 6.768 6.77(MPa)

30

x y

2

sin2 xycos2

10 4

sin60 2cos60

2

3

1

2 3.598 3.60(MPa)22

由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E，横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：

c截面的内力：Nz=γ·A·z ； c截面上的应力： z

Nz A z z； AA

所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：

z

z

E

z

E

；

则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：

lz d l z dz

z

z

z

z

E

dz

E

zdy

z

z2

2E

；

显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：

l　 d l

l

l2

2E

A l l

2EA

W l

；（W=γAl） 2EA

题1—6图

500300 800

0 3002—9.己知物体内一点的应力张量为：σij = 300

800 3001100

应力单位为kg／cm2 。 试确定外法线为ni

｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总

n 。

应力Pn、正应力σn及剪应力τ

解：首先求出该斜截面上全应力Pn在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz

2

Px= x xy xzn＇= 5 3 8 10

0 0 0 n均为零，也即：

2

Py= yx y yzn＇= 3 0

3 10

2Pz= zx yz zn＇= 8 3 11 10

所以知，该斜截面上的全应力Pn及正应力σn、剪应力τPn =σn = τn = 0

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τ

xy=-dx-ay；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。 解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：

OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0

代入：σx=ax+by；τ得：b=-γ1；a=0；

OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0 则：

xy=-dx-ay

并注意此时：x=0

xcos xysin 0

………………………………（a）

cos sin 0y yx

xy=-dx

将己知条件：σx= -γ1y ；τ入（a）式得：

； σy=cx+dy-γy代

1ycos dxsin 0 b

dxcos cx dy ysin 0 c

化简（b）式得：d =γ1ctg2β； 化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β

1260

3

2—17.己知一点处的应力张量为6100 10Pa

000

试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 σy=10×103 τ且该点的主应力可由下式求得：

12 103

1.2 102 2

17.083 10333

11 10 11 6.0828 10 Pa 3

4.91724 10

xy=6×10

3

，

x y

则显然： 1 17.083 10Pa

3

2 4.917 103Pa 3 0

σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

tg2

2 xy

x y

2 6 12 10

12

62sin2

cos2

显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688 40°16＇ 或（-139°44＇）

2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τσ3并求出σ2的主方向。

xy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、

解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：

1 2

0； 3

设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。

l21 x 2 l22 yx l23 xz l23 xz 0 1

l21 yx l22 y 2 l23 yz l23 zy 0 2

l21 zx l22 zy l23 z 2 l21 yx l22 zy 0 3

以及：l21 l22 l23 1 4

2

2

2

由（1）（2）得：l23=0 由（3）得：

l21alb

；22 ； l22bl21a

将以上结果代入（4

）式分别得：l21

；

l22

；

a

l21 l21

l22 l22 b

于是主应力σ2的一组方向余弦为：

（

，，0）；

σ3

的一组方向余弦为（2—20.证明下列等式：

，

）； 1

ii kk ik ik ； 2

1212

证明（1）：等式的右端为： I2 I1 1 2 2 3 3 1 1 2 3

33

1

12 22 32 2 1 2 2 2 3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 324622 12 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 6662222 1 2 3 1 2 2 3 3 1 61222222

2 2 2 112222333311 6