错位相减 裂项相消

一、错位相减法

差比数列：错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积，设数列 an 的等比数列，数列 bn 是等差数列，则数列 anbn 的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。

3n 2练习：an ,求Sn. 4n

练习：an n 2,求Sn

n

练习：求数列{n

1前n项和 n2

练习：an (2n 1) 2 n

2n练习：an (2n 1)（ ）,求Sn. 3

练习：Sn 1 2x 3x2 nxn 1

练习：(3).Sn x 2x 3x nx

23n x 0

练习：Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n

练习：已知数列1,3a,5a2, ,(2n 1)an 1(a 0)，求前n项和

练习：试求13

2,4,5

8,7

16 的前n项和。

练习：an 1

n (2 n)( 1),求Sn.

练习：求数列1,1 2,1 2 22, ,1 2 22 2n 1的前99项和

练习：(2)S22n 1

n 1 (1 a) (1 a a) (1 a a a)

1、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且

a3 b5 21，a5 b3 13 a1 b1 1，

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； a （Ⅱ）求数列 n 的前n项和Sn． bn

2、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn (4 an)q

3、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1 b1 1，a3 b5 21，n 1(q 0,n N*)，求数列{bn}的前n项和Sn a5 b3 13

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列

an 的前n项和Sn． bn

4、在数列 an 中，a1 2，an 1 an n 1 (2 )2n(n N )，其中 0． （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 an 的前n项和Sn；

5、（本小题满分12分）等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n N ，点 (n,Sn)，均在函数y bx r(b 0且b 1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记 bn

n 1(n N ) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an

二、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

an 1n Sn (2n 1)(2n 1)2n 1

常见的拆项公式有：

1.111 n(n 1)nn 1

1111 ( ) n(n k)knn k 2.

3.1111 ( ) (2n 1)(2n 1)22n 12n 1

(2n)2111an 1 ( ) (2n 1)(2n 1)22n 12n 1

4.1111 [ ] n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n

2)

1 a b

练习： 4 Sn

1111 1 22 33 4nn 1练习：求和

1111 1 33 55 7(2n 1)(2n 1)

练习：求数列

练习：an 11,证明S . n24n 4n 336666,,, ,, 前n项和； 1 22 33 4n(n 1)

练习：若数列{an}的通项公式是an

1n n 1，求数列{an}的前n项和；

练习：求数列

111,, ,, 前n项和； 1 21 2 31 2 (n 1)

练习选作：设ak 1 2 3 k，则数列

2222357,,, 的前n项和Sn. a1a2a3

2242(2n)2

练习：求和Sn 。 1 33 5(2n 1)(2n 1)

2、已知等差数列 an 满足：a3 7，a5 a7 26. an 的前n项和为Sn.

（Ⅰ）求an 及Sn； （Ⅱ）令bn

1 n N（）,求数列 bn 的前n项和Tn. an2 1

5、已知二次函数y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x) 6x 2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n N )均在函数y f(x)的图像上。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； '

（Ⅱ）设bn 1m，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn 对所有n N 都成立的anan 120

最小正整数m；

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 练习：1 2

练习：2,4,6

121111 3 4 n 234n222214111, ,2n n 1 8162

练习： 2 (x )2,(x2

练习：若an 2n

练习：(1).Sn 1 4

1x1212n), ,(x ) x2xn1，求前n项和 2n12111 7 [(3n 2) n] 482

练习：（）求1Sn a 1 a2 2 an n

练习： 2 求Sn 2 3 5

1 4 3 5 2n 3 5 2 n

1、数列{an}的前n项和Sn 2an 1，数列{bn}满b1 3,bn 1 an bn(n N ) . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn 。（ 2n 2n 1.）