最大最小次序统计量的联合分布

数学本科 ……

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第2 2卷第 5期2O O 6年 1 O月

大学数学COLLEGE AT EM ATI M H CS

Vo . 2№ . 12。 5 Oc .2 0 t 0 6

最大最小次序统计量的联合分布陈光曙(阴师范学院数学系，苏淮安 2 3 0 )淮江 2 3 0

[摘要] X, …,是来自总体 X的简单随机样本，一 ri X,一 ma{}(一 1 2…, X, X N a n{}帆 x X, k,,1≤≤ 1,々≤≤

n,文给出了最小次序统计量与最大次序统计量的联合分布函数。 )本 [键词]样本；关总体；布函数；序统计量分次[图分类号] 0 1.中 2 11[献标识码]C文 [章编号] 1 7—4 4 2 0 )50:—4文 6 21 5 ( 0 6 0— 140 3

1引

言

设 X, 一，是来自总体 X的简单随机样本，具有分布函数 F( ) X≤ X≤…≤ X为 X X X z, 其次序统计量.然，显X(一mi{,,, ) X(一 ma{,,, ) 1 ) n X1 X2… X, ) x X1 X2… X .

为方便起见，记N mi X1 X2…,}一 n{,, X,:ma X1 X2…, ) (一 1 2,, . x{,, X 志，… )

易知 N一X…,一X次序统计量在数理统计上有着十分广泛的应用，多文献均有较深刻的结 M许果. 1等分别给出了最大 (如[]最小 )序统计量、 i次序统计量的分布以及第 i J个次序统计量的次第个，联合分布.另外，大次序统计量与最小次序统计量在可靠性理论、匀分布的相关估计以及样本区间最均

长度的估计等方面都有着十分重要的作用.文主要讨论了次序统计量本以及 M N志 1 2…,的联合分布，给出了其结果的实际应用 .与 (一，, )并

与 M M与 N N与 M,,

2最大最小次序统计量的联合分布设 X,,,是来自总体 X的简单随机样本，具有分布函数 F( ) X… X X z,N一mi{,,,} n X1 X2… X,一 ma X1 X2…,} (一 1,…,, x{,, X^ k 2, )

则我们给出下列定理：

定理 2

1设 (, ) . 的联合分布函数为 F ( )(一1 2…,, , k,, )则…证 Vz, , Y∈ ’

F ( ) P ≤ z, 1z,一 ( M≤ )一

P X1 mi{ Y,≤ mi{,}…, ri{ Y, (≤ n z,} X2 n Y, X≤ a n z,} X抖1≤,, … X≤ )

’

一

1 PX≤mnx ) -PX≤ ) - ( i, ) 1 ( [{[

[稿日期] 2 0—52收 0 50—5[金项目]江苏省高校自然科学研究计划项目( 5 J 10 4基 0 K D1 0 3 )

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第 5期

陈光曙：大最小次序统计量的联合分布最 E mi{}] E y J F( n x, )。 F( )一 fF( ) F( ), x E x]E y]<y,

15 3

一

1

E ( )” F y],

z .≥

定理 22设 (, ) . N N的联合分布函数为 F ( )(一1 2…,, zz,志，, )则Fz,

‘一1[ F )一IF )q1F )E F ),z z 1 1 (] E (]-- (]l (]>.’一一 z— [ z - ” ~一

、

f

卜[ Fz],卜 ()

z ≤’

( 2) 2.

。

证 Vz, , v∈

F2 z, ) P(≤ z,” ) ( = N N≤1 P N z) P(> ) P(> z,> )一 (>一 N+ N N

一

1 IPX> ) I ( 一I (,z一 IPX> )+ P(￣ ma{ )…,￣ ma{} Xk 1 X1 x x,, X x x,,+>,> ) X”

一

1 P )珥P )一 (>一 (>+ x m{ xz x >a Xf 1 I一E—F( ) z],

x>z≤,

=1 I ( ) I一E—F z]一E—F(]+[一F( x x, ) L ) 1 ma{}] E—F(] )一

一 1 I ()一[一 ()+E—Fz]E— (),> . 1一E—Fz] 1 F] I () I F] z ” 定理 2 3设 (, ) . N M的联合分布函数为 F ( )(一1 2…, )则 sz,龟，, n, E s] -E F( ) o F(№证 Vz,∈,

一’

(. 2 3)

F ( ) P N z, 3z,一 (

≤ M≤ )一

P M (≤ ) P N z,≤ )一{> M .

(.) 2 4

当 x y时，<F3 z,一P( ( ) M≤ ) P Nk x, 一 (> M≤ )一

E y]一P z F( )” (<X≤,,<X女… x≤,+≤,,≤ ) X … X一

一

[()一I (<X≤ ) IPX≤ ) F] IPx I ( [ )” F() F(]一V y一F( ) F(] . z][ )一

一

由( . ), z 2 4知当≥时， (,一[ )从而得 ( . ) F。z ) F(], 23 . 定理 24设 (, ) . N的联合分布函数为 F ( )(一1 2…,, z,志，, )则 f E x], F( ) z≤,

Fz一Ez—F)F) I (” z ., I ( Ez (]— y,>‘ F) (- y E F)] ]证 Vz,∈ ,

(. 2 5)

F ( )= (≤ z,≤ ) z,: P = N 一

P M z一 P M z,≤ . (≤ ){≤ N )

(.) 2 6

当z>时，

F ( ) E( ) ( X≤z,,<X≤z, z,一E z]一P< … y X+>,,> )… X 一

E()一I (￣ z 1 ( Ez] IPy X≤ )I PX> )E x]一E x - F( ) I F( )一 . F( ) F( ) y]E - y]

一

当z≤时， z,一[ z) F ( ) F(]. 推论当 k 时，M N的联合分布函数为一 (, )f E x], F( )” z≤,

F,一E ) Ex F) z .‘ f (] F) (”> z E” (一 , -]

( .7 2 )

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第2 2卷

注 N 是 X,,,的最小值和最大值，可以是 X,,,中任意 k个 Xf, 2, Xz… X也 Xz… X 1 Xf,…

,

X的最小值和最大值， XlX2…,独立同分布知上述结论均成立.由，, X

3应用举例利用上述结论可以解决一些实际问题 . 例 1设 X,,,为来自总体 X~U(, ) X… X 0 1的次序统计量，< X< X。…< X< 1称随机 0 < ,

区间[,] X X为第 k

个次序样本区间，区间长度为 Y一X一X (一 1 2…,其 是，,一1 . )显然 Y<y <…<y<y,第 k个次序样本区间长度 y 则的数学期望E( )一 Y( .1 3 )

证由于总体 X￣U(, )所以总体 X的分布函数 01,f, 0 .< 1, < r

F(一 l ),

≥ 1,

【 0,

≤ 0 .

利用定理 2 1中的结论， ( X ) .知 X, 的联合分布函数为f y一， O < .< 1, < y

F(,一 v)

jY。 v> 1,_ l1,<≤ l > 1, ,l 0 ,其他 .一’ ,

( .2) 3

从而得 (, ) X X的联合概率密度为一

( .3) 3

故

E Y ) ll ( -3 k- ( (: rr y - 3一k Y 1 ) )” d- 3y d一

肌一南(+ 1) k+ 1’ ( )

l d

例 2设总体 …… 此处隐藏：2548字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……