层次分析法应用举例

层次分析法应用

问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。

目标：选购一款合适的手机

准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。 1欧美（iphone）2亚方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：○；○

3国产（华为）. 洲（索爱）；○

解决步骤：

1.建立递阶层次结构模型

图1 选购手机层次结构图

2.设置标度

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

3.构造判断矩阵

A B1 B2 B3 B4

B1 1 1/3 1/5 1

B2 3 1 1/3 3

表1 判断矩阵A—B

B3 5 3 1 5

B4 1 1/3 1/5 1

B1 C1 C2 C3

C1 1 3 5

C2 1/3 1 3

C3 1/5 1/3 1

表2 判断矩阵B1—C

B2 C1 C2 C3

C1

1 1/3 1/3

C2

3 1 1

C3

3 1 1

表3 判断矩阵B2—C

B3 C1 C2 C3

C1 C2 1 1/3 1/6

C3 3 1 1/4

6 4 1

表4 判断矩阵B3—C

B4 C1 C2 C3

C1 C2 1 4 6

1/4

C3

1/6 1/3 1

1 3

表5 判断矩阵B4—C

4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 用求和发计算特征值：

○1将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； ○2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；

○3将ci归一化：得到特征向量W=（w1

，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ， W即为A的特征向量的近似值； ○4求特征向量W对应的最大特征值：

13

11).A

3135138

33，按列归一化后为15385138922

2222922

T

5538

52).按行求和并归一化后得W 0.3890.1530.0690.389

1331

3).计算特征根：AW

51351

33

0.3890.1530.0690.389 T 1551

AW1 1*0.389 3*0.153 5*0.069 1*0.389 1.582，同理有

AW2 0.619，AW3 0.275，AW4 1.582

4).计算最大特征根：

max

i 1

n

AW i

nWi

1.5820.6190.2751.582

4.044

4*0.3894*0.1534*0.0694*0.389

5).进行一致性检验：

C.I.

max n

n 1

4.044 4

0.015

4 1

查同阶平均随机一致性指针（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

表6 平均随机一致性指针

C.R.

C.I.0.015

0.016<0.1,满足一致性要求。 R.I.0.89

同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。

判断矩阵B1—C W 0..1060.2600.633 ， max 3.039，C.R. 0.033 0.1

T

T

W 0.60.20.2判断矩阵B2---C ， max 3，C.R. 0

T W 0.6390.2740.087判断矩阵B3---C ， max 3.054，C.R. 0.047 0.1 T

max 3.054， W 0.0870.2740.639C.R. 0.047 0.1。判断矩阵B4---C ，

5.层次总排序

获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总

体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：

Wi wjvij

j

层次 C1 C2 C3

B1

0.389 0.106 0.26 0.633

B2

0.153 0.6 0.2 0.2

B3

0.069 0.639 0.274 0.087

B4

0.389 0.087 0.274 0.639

总排序权重

0.211 0.257 0.531

表7 层次总排序表

6.结论

由表7可以看出，三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此，对于大部分人来说，选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。