初等数论第四次作业(2)

m︱ a b (c d) ，即m︱ a c b d ，所以a c b d(modm)。

1、 证明：设m,n为整数，求证m n,m n与mn中一定有一个是3的倍数。

证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；

若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m n是3的倍数；

若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m n是3的倍数；

若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m n是3的倍数；

若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m n是3的倍数，结论成立。

6．证明：整数a，b对模m同余的充分与必要条件是m|(a b)。

证明：设a mq1 r1,b mq2 r2,0 r1,r2﹤m。若a b modm ，则r1 r2， 因此(a b) m(q1 q2)，即m︱(a b)。

反之，若m︱(a b)，则m∣m(q1 q2)+（r1-r2），因此m∣r1-r2，但∣r1-r2∣﹤m 故r1 r，即a b modm 。

7．设a是大于1的整数，证明a4 4是合数。

证明：a 4=a4

222 4a2 4 4a2 =a 2

2 2 4a2 2 =(a 2 2a)(a 2 2a)

由于a﹥1且是整数，所以a 2 2a﹥1，a 2 2a﹥1，且均为整数，故当a是大于1的整数时，a 4是合数。 422

8．设m为整数，证明：2|(m2 m 2)。

证明：因为m m=m(m 1)是两个连续整数的积，所以2∣（m m）。

又2∣2，所以由整除的性质知2∣(m m 2)。 222

9．设p是质数，a与b是任二整数。证明：(a b)p ap bp(modp)。

pp证明：因为p是质数，a与b是整数，所以a a(modp)，b b(modp)，

ppp于是a b a b(modp)。又(a b) a b(modp)，所以

(a b)p ap bp(modp)。