初等数论第四次作业

初等数论第四次作业

证明题

1．设均为整数，而且a b c d是奇数。证明：a，b，c，d中至少有一个是奇

数。

证明：如果a，b，c，d都不是奇数，则都是偶数。因此a b c d是偶数。这

与条件矛盾！

因此，其中至少有一个是奇数。进一步可知，这4个数中只有1个或3个奇数。

2．设x，y均为整数。证明：若5|x 9y，则5|8x 7y。

证明：∵5∣（X+9Y）

∴5∣3（X+9Y），即5∣（3X+27Y）①

又Y为整数，∴5∣25Y ②

由①②可知：5∣[（3X+27Y）-25Y]，即5∣（3X+2Y）③

∵X，Y为整数 ∴5∣5（X+Y）④

由③④可知：5∣[（3X+2Y）+5（X+Y）]

即 5∣（8X+7Y）

3．证明：若a|c，b|d，则ab|cd。

证明：由a︱c，b︱d知存在整数p,q使得c ap,d bq,所以cd apbq abpq，因为pq为整数，所以由整除的定义知ab︱cd。

4．证明：若n为自然数，求证9n+1 8n+9(mod 64)。

证明：国为9 1(mod8)，所以9 1(mod8),k 2,3, ,n 1,

于是9n 1k 92 9 1 n(mod8),所以9(9n 1 92 9 1) n(mod8),

n 1从而9 (9 1) (9 92 9 1) 8n(mod64),即9(9n 1) 8n(mod64)，所以

9n 1 8n 9(mod64)。

5．证明：若a b(modm)，c d(modm)，则a c b d(modm)。

证明：由a b(modm),c d(modm)得m︱(a b)，m︱(c d)，由整除的性质得