等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】

例1． 如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分高。求证：AD垂直平分EF。

例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于BDC周长为24，求AE的长度。

BD=CD。求证：AD垂直平

别是△ABD和△ACD的

E，若CD＝4，且△

D

C

例三. 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为 =___________。

图1

分析：如图1，AB=AC，BD⊥AC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知∠EAC=∠EAB

1

，又∠2

EAC 90° ∠C，∠ 90° ∠C，所以∠EAC ，

例四. 已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE

1

。 2

1

BC，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。

2

图2

分析：欲证∠ACE=∠B，由于AC=AB，因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。 证明：作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，

1

BC 21

又∵CE BC，

2

∴BD

∴BD=CE。

在Rt△ABD和Rt△ACE中， AB＝AC，BD=CE，

∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。 ∴∠ACE=∠B

例五. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：