高中数学高考综合复习导数及其应用

。

（Ⅱ）如果函数对于开区间（

在开区间（

）内每一点都可导，则说 ，都对应着一个确定的导数

在开区间（

在开区间（

）内可导，此时，

）内构 或

，

）内每一个确定的值 ，这样在开区间（

成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 ）内的导函数（简称导数），记作

即

认知： （Ⅰ）函数数值；

（Ⅱ）求函数 ①求函数的增量

在点

在点

的导数 处的导数

。

是以x为自变量的函数，而函数 是

的导函数

当

在点 处的导数 是一个

时的函数值。

处的导数的三部曲：

；

②求平均变化率

；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义： 函数

（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数 若函数

在点

处可导，则 ）内可导，则

在点

处连续；

）内连续（可导一定连续）。

在点

处的导数

，是曲线

在点

处的切线的斜率。

在开区间（ 在开区间（

事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，

高中数学高考综合复习导数及其应用

记

（Ⅱ）若函数

反例：

在点

处连续，但在点

在点

处连续，但

在点

,则有

即

在点 处连续。

处不一定可导（连续不一定可导）。

处无导数。

事实上， 在点 处的增量

当 时，

，

；

当 时，

，

由此可知，

不存在，故 在点 处不可导。

2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式1 常数的导数：

公式2 幂函数的导数：

公式3 正弦函数的导数：

公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

。

。

（c为常数），即常数的导数等于0。

（Ⅰ） ；

高中数学高考综合复习导数及其应用

（Ⅱ）

公式6 指数函数的导数： （Ⅰ）

（Ⅱ）

（2）可导函数四则运算的求导法则 设

为可导函数，则有

；

。 ；

法则1

法则2

；

法则3

3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则 设的导数 即

引申：设

（2）认知

，

，

。

复合成以x为自变量的函数

的导数

，则复合函数

，乘以中间变量u对自变量x的导数

对自变量x ，

，等于已知函数对中间变量

。

复合成函数 ， 则有

（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出函数结构设出

，由第一层中间变量

的函数结构设出

，由第二层中间变量 为自变量x的简单函数

的 为

，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量

止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：

（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

；