椭圆性质与常见题型

x2y2

②椭圆2 2 1(a b 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1( a,0)，

ab

A2(a,0)，B1(0, b)，B2(0,b)

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A2圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e

2a,B1B2 2b。a和b分别叫做椭

2cc

。 2aa

②因为(a c 0)，所以e的取值范围是(0 e 1)。e越接近1，则c就越接近a，从而b

a2 c2

越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当

x2y2

c 0，且仅当a b时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x y a。注意： 椭圆2 2 1

ab

2

2

的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）

(PF1 PF2

2a)；

PF1PM1

PF2PM2

e；

(PM1 PM2

（2）(BF1

2a2

)；

c

a)；(OF1 OF2

c)；A1B A2B a2 b2；

BF2

（3）A1F1 A2F2 a c；A1F2 A2F1 a c；a c PF1 a c；

x2y2y2x2

知识点四：椭圆2 2 1 与 2 2 1(a b 0)的区别和联系

abab

椭圆性质与常见题型

x2y2y2x2

注意：椭圆2 2 1，2 2 1(a b 0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有

abab(a b 0)和e

c

(0 e 1)，a2 b2 c2；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 a

规律方法：

1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示

椭圆性质与常见题型

椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(a b 0)，(a c 0)，且(a2 b2 c2)。

可借助右图理解记忆：

显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

2

x2By2Ax2By2

1，所以只有A、B、C同号，且A B时， 1，即方程Ax By C可化为

CCCC

AB

2

2

方程表示椭圆。当

CCCC

时，椭圆的焦点在x轴上；当 时，椭圆的焦点在y轴上。 ABAB

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

x2y2

共焦点，则c相同。与椭圆2 2 1(a b 0)共焦点的椭圆方程可设为

abx2y22

1(m b)，此类问题常用待定系数法求解。 22

a mb m

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x换成 x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ② 若把曲线方程中的y换成 y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成 x、 y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式S PF1F2

1

PF1 PF2 sin F1PF2相结合的方法进行计算解题。 2

将有关线段PFPF2F1F2，有关角 F1PF2 ( F1PF2 F1BF2)结合起来，建立PF1 PF2、1PF1 PF2之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？