周期型方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为1的方波信号由以下函数给出

⎪⎩

⎪⎨⎧<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。

利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件

实验过程：

对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数

经过傅里叶变换得到： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---

+-

=∑∑∑∞∞∞111))

1(2sin(21)2sin(2

1))1(2sin(2

1)(x

k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000);

y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ

-=⎰1()sin n b f t ntdt πππ-=⎰

0,1,2n = 1,2,3n =