高数答案下册

第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

1． 指出下列各微分方程式的阶数 1） x(y''')3 4y5y' x6 0 2） (7x 6y2)dx (x y)dy ey

2．设y (c1 c2x)e2x.1）验证y是方程y'' 4y' 4y 0的解.2）求参数c1，c2使得它满足初始条件y(0) 0，y'(0) 1.

1）y' 2c1e2x 2c2x e2x c2 e2x

x2x2

y'' 4cc e 42cx x2e 21e 22

2

22x2x

c xe4c1e 4c 2xe2e 4c2x

y'' 4y' 4y 4c1e2x 4c2e2x 4c2x e2x 4(2c1e2x 2c2x e2x c2 e2x) 4(c1 c2x)e2x 0

y是方程y'' 4y' 4y 0的解

2）y(0) 0 0 (c1 0) 1 c1 0

y(0) 1 1 2 0 e2x c2e2x c2 e0 c2 12 0 所求满足初始条件的函数为y xe。

第二节 可能离变量的微分方程

1． 求下列微分方程的通解。

1）xy ylnx 0 解：原式可化为 x

2

'

2x

2'

dy

y lnx 0 dx

分离变量，得

dylnx 2dx yx

lnx1

c1 xx

c1

1lnx

xx

两端积分，得 lny 从而

y e

1lnx c1xx

e e ce

1lnx xx

（ c为任意常数）

2）sinxdy cosydx 0