例如将x11的系数由1000变为1500，其他条件不变时最优解不变。但可达到的最大利润变大为27650元，增加500元。这表明，若单个目标函数中的变量系数变化，只要其在变化范围内，则最优解不变，但最大收益可能增加或减少。

（2）同时，影子价格有意义条件下约束右端顶也有限制范围。（变化范围见表7）

*“ ”表示其变化对结果没有影响。可以理解为结果与其变化无关

通过这张表我们可以得出，虽然通过增加员工的方法可以增加公司的最大收益。但增加员工的数量有限制。

8.模型评价和改进

8.1模型的优点：

(1)模型运用了Lingo 进行求解，简化了计算，通过影子价格和敏感度进行分析。 (2)模型运用线性规划，目标函数是个多元函数，数学规划方法排除了多个干扰因素，使问题变得简单。 8.2模型的缺点：

(1)在模型假设中我们忽略掉如人员变动等多个实际中常见问题，故只有在极端情况下，该模型才真正成立。

(2)效益随着紧约束（有效约束）资源变化是可以提升的，根据影子价格的经济学原理，该公司收益还有上升的空间，所以我们的模型得出的收益数据只是一个参考并非绝对的。 8.3模型的改进：

由调派的人力资源表的数据可以看出，该公司调派了所有专业技术人员，使得公司在现有的人员结构基础上收益达到了最大，但四个项目所要求的总人数为55人，而该公司的实际专业人员只有41人。若公司招聘更多的人员，则是改变了影响影子价格的资源紧约束力，提升效益，也就是增加公司的收益。但招聘更多员工，公司付出相应的工资也就更多，成本的上升是否真的带来利润，这与招聘多少高级工程师、工程师、助理工程师还有技术员息息相关。假设其他条件不变，新招进来员工的收费和工资与现有员工的是也一样的。

而此时，因为员工数量不确定，所以工资支出是一个不确定的数。因此我们的目标函数要加以修改。将变量的系数有直接收入换为净收入。 我们引入新的符号：

wij 表示第i种专业人员做第j个项目的净收入 ci 表示第i种专业人员的工资

w y c(j 1,2)

iji

ij

wij yij ci 50(j 3,4)

据此，我们得出各种专业人员做不同项目的净收入（见表8）

表8：各专业人员净收入

则我们的目标函数变为：

max=750*x11+600*x21+430*x31+390*x41+1250*x12+600*x22+530*x32+490*x42+1000*x13+650*x23+480*x33+240*x43+700*x14+550*x24+480*x34+340*x44;

我们发现，前三个项目人员分配总数正好达到了客户的最高要求，而第四个项目还差14个专业技术人员。因此我们分两种情况考虑模型的改进，即：

(1)新增员工全部分配到第四个项目，前三个项目分配情况不变。假设其他条件不变，新招进来员工的收费和工资与现有员工的是也一样的。

根据新条件，我们改变式子。（得到Lingo程序及运算结果见附录二） 计算结果为x14 2，x24 8，x34 8，

当招聘员工为14人，其中高级工程师1人，工程师6人，助理工程师7人时，公司收益可达最大为34510元。各项目的人员数目表9：

表9

(2)新增员工分配到所有项目。假设其他条件不变，新招进来员工的收费和工资与现有员工的是也一样的。

根据新条件，我们改变式子。（得到Lingo程序及运算结果见附录三） 根据结果，我们将新的人员分配制成表10：

表10

因此，最优聘用方案是：聘用的人数为14人，其中高级工程师为3名，工程师为7名，助理工程师为4名。此时公司的最大收益为35020元。

9.模型应用与推广

本文的建模思想可以进一步的推广到资源分配问题。例如，将数量一定的一种或若干种资源恰当的分分配,从而使目标函数达到最优。具体如下:

设有m种类型的原料,总数量为a,用于生产n种产品，xij表示生产第i种产品需要第j种类型原料的数量,其收益记为gi(xij),假设没有其他约束条件，问如何分配使总的收益最大?

此问题就可以写成静态规划问题:

nm

maxz w

i 1j 1

nm

xij a i 1j 1 x 0 ij

它可用本模型所用的Lingo软件求解，得到最优解使收益最大。

结论

在公司现有的41名技术人员条件下，A项目工程需高级工程师1名，工程师6名，

助理工程师2名，技术员1名；B项目工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；C项目工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项目工程需高级工程师1名，工程师2名，助理1名，技术员无。公司每天的直接收益最大为，27150元。

若是公司可以多招聘员工，聘用人员只针对项目D，则需要多增高级工程师1人，工程师6人，助理工程师7人时，A项目工程需高级工程师1名，工程师6名，助理工程师2名，技术员1名；B项目工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；C项目工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项目工程需高级工程师2名，工程师8名，助理8名，技术员无。公司收益可达最大为34510

元。

若聘用人员可分配到四个项目，则聘用的人数为14人，其中高级工程师为3名，工程师为7名，助理工程师为4名。A项目工程需高级工程师3名，工程师4名，助理工程师2名，技术员1名；B项目工程需高级工程师5名，工程师6名，助理2名，技术员3名；C项目工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项目工程需高级工程师2名，工程师8名，助理8名，技术员无。公司每天的直接收益最大为35020元。