多目标随即加权模糊线性规划

k

maxg(x)

n

s.t.

∑

j=1k

aijxjΦ-

ln(1-α)

λi

,i=1,2,…,m

　　　　xjΕ0,j=1,2,…,n

设上面单目标规划问题的最优解为x,并求该目标的上界u与下界l,即kkkk

u=g(x),l=mgk(xl)|l=1,2,…,k

则g(x)的隶属度函数可取为

kk0,g(x)Φl

kk()

μ(gk(x))kk,lkΦgk(x)Φuk

k

k

u-l

(2)

kk1,g(x)Εu

定理　在(2)式的假设下,模型(M4)与下面规划问题(M5)等价:

p

max

k=1

ωη∑

k

k

ηk(uk-lk)Φgk(x)lk,,2,p　　　0Φs.t.

n

jxj-

(1-)

i

,i=1,2,…,m

xjΕ0,j=1,2,…,n

模型(M5),可利用单纯形法就可得到最优解x及η,不难看出,x

就是要求的满意解。

如果原来的目标函数和随机约束方程均为非线性约束,则模型(M5)是非线性单目标规划问题,可

i

以用传统的非线性优化理论来解决;如果资源量b是服从其它如均匀分布、对数正态分布或伽玛分布等的随机变量,则可类似转化求解。

3

3

3

2　算例

考虑下面两目标随机约束线性规划为

max{10x1+5x2,3x1+7x2}prob{x1+x2Φb1}Ε0.94

s.t.

prob{4x1+3x2Φb2}Ε0.93prob{2x1+5x2Φb3}Ε0.91

　　　xjΕ0,j=1,2

其中bi(i=1,2,3)是指数分布随机变量,相应的数学期望分别为:E(b1)=7,E(b2)=9,E(b3)=8。于是,可得到如下等价的确定性多目标线性规划模型:

max{10x1+5x2,3x1+7x2}

x1+x2Φ0.433s.t.

4x1+3x2Φ0.6532x1+5x2Φ0.755

xjΕ0,j=1,2

3

如果按一般模糊规划模型(M3)求解方法可得此多目标随机线性规划问题的满意解x=31323

(0.11739,0.06114),相应的函数值为G=(g,g)=(1.47964,0.78017);如果认为这两个目标

ω2,按本文提出的模型(M4)及等价模型(M5),对几组不同权重求函数重要程度不同,权重分别为ω1、

解结果如表1所示。70