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18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

x2y2

1. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴

ab

x2y2

平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2 2 1.

ab

x2y2

2. 过双曲线2 2 1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互

ab

b2x0

补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 2（常数）.

ay0x2y2

3. 若P为双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

ab

F 2是焦点, PF1F2 , PF2F1 ，则

c a

taco（或c a22

c a

taco）. c a22

x2y2

4. 设双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

ab

为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记 F1PF2 ,

PF1F2 , F1F2P ，则有

sin c

e.

(sin sin )a

x2y2

5. 若双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，

ab

则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线

ab

P和内一定点，则|AF2| 2a |PA| |PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

A,F2在y轴同侧时，等号成立.