11 第十一次课(二元关系运算与函数)
时间:2025-04-02
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离散数学
第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )
Functions 函数
为 X 到 Z 的关系
合成运算是对关系的二元运算, 合成运算是对关系的二元运算,它能够由两个关 系生成一个新的关系,并可以以此类推。 系生成一个新的关系,并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子, 合成运算的例子,如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔
是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对, 如果在关系 和S中各有一个有序对,使 且 而且 ,则 是关系
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的元素。 的元素。
包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。
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第三章 --- 二元关系
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因为 但不存在y使 但不存在 使
且
,故 ,故没有y使 故没有 使
。虽有 。也没有x使 也没有 使
,
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第三章 --- 二元关系设集合A上的关系 上的关系R为 例1 设集合 上的关系 为
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第三章 --- 二元关系设集合N上的关系 上的关系R和 为 例2 设集合 上的关系 和S为
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第三章 --- 二元关系
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在实际问题中, 在实际问题中,我们感兴趣的往往不是一般的关 系,而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理 而是具有某些特殊性质的关系。 这些关系,有必要深入研究关系的性质。 这些关系,有必要深入研究关系的性质。对A上的关系 上的关系 来说,主要的性质有:自反性、非自反性、对称性、 来说,主要的性质有:自反性、非自反性、对称性、 反对称性、传递性。 反对称性、传递性。
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第三章 --- 二元关系上的关系R, 对A上的关系 ,若对任意的 上的关系 上自反的关系; 称R为A上自反的关系;若对任意的 为 上自反的关系 则称R为 上非自反的关系 则称 为A上非自反的关系 这个定义也可以写成: 这个定义也可以写成: 在A上是自反的 上是自反的 在A上是非自反的 上是非自反的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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都有 都有
,则 ,
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第三章 --- 二元关系如果R是 上自反的 上自反的, 如果 是A上自反的,
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则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是 (即 的主对角线元素都是1( 则关系矩阵 的主对角线元素都是 1),关系图G(R)的每个顶点都有自圈。 ),关系图 的每个顶点都有自圈。 ),关系图 的每个顶点都有
自圈 如果R是A上非自反的, 如果 是 上非自反的, 上非自反的
都
的主对角线元素都是0, 则M(R)的主对角线元素都是 ,G(R)的每个顶点 的主对角线元素都是 的每个顶点 都没有自圈。 都没有自圈。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 8
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第三章 --- 二元关系在非空集合A上的恒等关系 例1 在非空集合 上的恒等关系 都是自反的 。 在非空集合A上的空关系 例2 在非空集合 上的空关系 集合N上的小于关系 是非自反的。 集合 上的小于关系 < 是非自反的。
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和全关系
是非自反的。 是非自反的。在
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第三章 --- 二元关系例3 在集合 上的关系
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不是自反的,也不是非自反的。 不是自反的,也不是非自反的。 但是在非空集合A上 不存在一个关系, 但是在非空集合 上,不存在一个关系,它是自 反的又是非自反的。 反的又是非自反的。
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第三章 --- 二元关系设 R 为集合 A 上的关系 ,对任意的 若 若 这个定义也可以写成 R在A上是对称的 在 上是对称的 R在A上是反对称的 在 上是反对称的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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,
上对称的关系; ,则称 R 为 A 上对称的关系; 上反对称的关系。 ,则称R为A上反对称的关系。 则称 为 上反对称的关系
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第三章 --- 二元关系反对称性的另一种等价的定义为 R在A上是反对称的 在 上是反对称的
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如果R是 上对称的 上对称的, 是对称矩阵(对任意的 如果 是A上对称的,则M(R)是对称矩阵 对任意的 和j, 是对称矩阵 对任意的i和 ,
)
G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边,或者互有有向边 和 中任意两个顶点之间或者没有有向边, 中任意两个顶点之间或者没有有向边 (不会只有 没有 )。如果 是 上反对称的 上反对称的, )。如果R是A上反对称的,则M(R)是反 如果 是反 ,若 则 ),G(R)中任意 中任意 ),
对称矩阵的( 对称矩阵的(对任意的
两个顶点之间或者没有有向边,或者仅有一条有向边( 两个顶点之间或者没有有向边,或者仅有一条有向边(不会同时有 和 )。Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 12
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