证明 设 supA， supA且 ，则不妨设

supA x A有x

supA 对 ， x0 A使 x0，矛盾.

例 supR 0 ，sup

n 1

， 1inf n Zn 1n 1n Z 2

n

E 5,0,3,9,11 则有infE 5.

开区间 a,b 与闭区间 a,b 有相同的上确界b与下确界a.

例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则有 supS supA, infS infA.. 例4 设A和B是非空数集. 若对 x A和 y B,都有x y, 则有

supA infB.

证明 y B, y是A的上界, supA y. supA是B的下界,

supA infB.

例5 A和B为非空数集, S A B. 试证明: infS min infA , infB . 证明 x S,有x A或x B, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

x infA

或x infB. x min infA , infB .

即min infA , infB 是数集S的下界,

infS min infA , infB . 又S A, S的下界就是A的下界,infS是S的下界,

infS

是A的下界, infS infA; 同理有infS infB.

于是有infS min infA , infB . 综上, 有 infS min infA , infB .

1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释. 2、确界与最值的关系: 设 E为数集.

（1）E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.