（2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若maxE存在, 必有 maxE supE. 对下确界有类似的结论.

3、确界原理:

定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.

这里我们给一个可以接受的说明.E R，E非空， x E，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而p 1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2, ,p.9和p 1，我们可以找到一个q0，0 q0 9，使得p.q0不是E上界，p.(q0 1)是E上界，如果再找第二位小数q1， ,如此下去，最后得到p.q0q1q2 ，它是一个实数，即为E的上确界.

证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得 1） x S，有x n； 2）存在x1 S，有x n 1；

把区间(n,n 1]１０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在n1，使得

1） S，有；x n.n1； 2）存在x2 S，使得x2 n.n1 再对开区间

(n.n1,n.n1

10

110

．

]

１０等分，同理存在n2，使得

1）对任何x S，有x n.n1n2；

x n.n1n2

2）存在x2，使2

110

2

继续重复此步骤，知对任何k 1,2, ，存在nk使得

1）对任何x S

，

x n.n1n2 nk

110

k

；

2）存在xk S，xk n.n1n2 nk．

因此得到 n.n1n2 nk ．以下证明 infS．

1) 对任意x S，x ；

2) 对任何 ，存在x S使 x ． 作业： P9 1（2），（3）； 2； 4（1）、（3）；6