东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测 高(7)

原点O到直线AB

的距离d 所以S AOB

1.

1

AB d 1． 13分 2

（20）（共14分）

（Ⅰ）证明：由an 8 2n，可得an 2 8 2n 2，an 1 8 2n 1，

所以an an 2 2an 1 8 2n 8 2n 2 2(8 2n 1) 2n 0，

an an 2

an 1

所以对任意n N*，． 2

又数列{an}为递减数列，所以对任意n N*，an a1 6． 所以数列{an}为“T数列”． 5分

（Ⅱ）证明：假设存在正整数k，使得ak ak 1．

由数列{an}的各项均为正整数，可得ak ak 1 1．

ak ak 2

ak 1

由，可得ak 2 2ak 1 ak 2(ak 1) ak ak 2． 2

且ak 2 2ak 1 ak 2ak 1 ak 1 ak 1． 同理ak 3 ak 1 2 ak 3，

依此类推，可得，对任意n N*，有ak n ak n． 因为ak为正整数，设ak m，则m N*. 在ak n ak n中，设n m，则ak n 0．

与数列{an}的各项均为正整数矛盾．

所以，对任意n N*，an an 1. 10分

（Ⅲ）因为数列{an}为“T数列”，

所以，存在常数M，对任意n N*，an M． 设M N*．

由（Ⅱ）可知，对任意n N*，an an 1，