伏柔贝尼斯定理

一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的可积： λ j存在n-d个独立解本质将复杂的偏微分方程可解性问题转化为简本质：将复杂的偏微分方程可解性问题转化为简单的分布或向量函数集合的对合性判断问题，而后一问题只需通过求向量场间的李括号和检验对合条件是否满足即可

x

( X 1 (x ),L, X d (x ))≡ 0

偏微分方程的求解求d个偏微分方程 λj ( X 1 ( x),..., ) X d ( x))≡ 0 (2.24) x是否存在n-d个独立解。先求Λ ( x) X ( x)= 0则问题转化为求解下列线性偏微分矩阵方程 T=Λ ( x) x

如果上述方程存在充分光滑的解，则其二阶偏导数存在且可交换 2Ti 2Ti x j xk=

xk x j

对于本例中的向量函数集合，容易求得Λ(x)具有形式

Λ(x)=Λ0(x)(2, x2x3, 8x312 4x3(x3 3x2))T

(2.30)

其中Λ0(x)是适当的连续光滑函数，称之为积分因子(对于多维情形，相应地为一非奇异矩阵)，其选取必须确保Λ(x)满足可积性必要条件条(2.29)。