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9.2 一元一次不等式

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1、什么是一元一次方程？只含一个未知数、并且未知数的次数是1 的方程

2.解一元一次方程的基本步骤(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化为1

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3、不等式有哪些基本性质： 不等式的两边都加上(减去)同一个整式， 不等号的方向不变

不等式的两边都乘以(除以)同一个正数， 不等号的方向不变 不等式的两边都乘以(除以)同一个负数， 不等号的方向改变

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思考

观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？

x 7 26, 2 x 50 3

3x 2 x 1 ,

4 x 3,

一元一次不等式的概念： 含有一个未知数，未知数次数是1的 不等式，叫做一元一次不等式.

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下列不等式是一元一次不等式吗？ (1)x-7y>26; × (2)3xy<2x+1; × (3)-4x>3; √ 2 (4) m>50; √ 3 1 (5) >1. × x

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(1)不等式的两边都是整式； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1.

(4)判断一个不等式是否为一元 一次不等式，必须化简整理后再判 断。

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解一元一次方程:

例 解下列一元一次不等式:

2 x 1 4 x 13

2 x 1 4 x 13

解： 2 x 4 x 13 1 解： 2 x 4 x 13 1 2 x 14 2 x 14

x 7

x 7

一元一次不等式与一 元一次方程的解法有 哪些类似之处?有什 么不同?

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解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1等步骤.区别在哪里? 在去分母和系数化为1的两步中,要特别注意 不等式的两边都乘以(或除以)一个负数时,不等 号的方向必须改变.

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(1)利用解一元一次方程与解一元一次 不等式的方法、步骤都类似的结论，同桌一起完成以下两题,并将 解题过程填入表(一)。 表(一)

x 2 x 1 1 3 26-2 (x-2) =3x 6-2x+4=3x -2x -3x=-6-4 -5x=-10

步骤

x 2 x > 2 1 3 26-2 (x-2) >3x 6-2x+4 >3x -2x -3x >-6-4-5x >-10

x= 2

① ② ③ ④ ⑤

x< 2

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(2)再利用表(一)归纳解一元一次 不等式的一般步骤，并指出每个步骤的根据，完成表(二). 表(二)

步 骤① ② ③ ④ ⑤ 去分母 去括号 移项 合并同类项 两边同除以a

根

据

不等式的基本性质2,3

单项式乘以多项式法则不等式的基本性质2 合并同类项法则 不等式的基本性质2,3

写不等式的解时，要把表示未知数的字母写 在不等号的左边。

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填 空：解不等式：-2x+1>3-3x解： -2x+1> 3 - 3x +3x x >3 > -1 2

移项，得 -2x 合并同类项，得

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例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1) 2 ( 1 x) 3解：去括号，得 移项，得 合并

同类项，得 系数化为1,得

2 2x 3 2x 3 2 2x 1 1 x 2

∴这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示

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例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：

2 x 2x 1 (2) 2 3解：去分母，得 3 (2 x) 2 ( 2 x 1 ), 去括号，得 6 3x 4 x 2, 移项，得 3x 4 x 2 6, 合并同类项，得 x 8, 系数化为1,得 x 8.

∴这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示

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2x 1 5 例2.解不等式 x 5, 3 4 与解一元一次 并把它的解集在数轴上表示出来. 方程方法类似

﹦4 去括号得: 8x-4≥15x ﹦ -60 移项得: 8x-15x≥ -60+4 ﹦ -56 ﹦ 合并同类项得: -7x≥ 化系数为1得: x﹦ ≤8-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

解:去分母得: 4(2 x 1) 12( 5 x 5)同乘最简 公分母12, 方向不变

这个不等式的解集在数轴上的表示为

﹦

同除以-7, 方向改变

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练习 1.解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) -5x ≤ 10 ;

(2)4x -3 < 10x + 7 .(3) 3x -1 > 2(2-5x) ;

x 2 2 x 3 ≥ (4) . 3 2y 1 2 y 5 ( 5 ) . 1 6 4

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3、下列解不等式过程是否正确，如果 不正确请给予改正。 x x 1 x 8 解：不等式 x 1 2 3 6 去分母得 6x-3x+2(x+1)<6-x+8 去括号得 6x-3x+2x+2 <6-x+8 移项得 6x-3x+2x-x<6+8+2 合并同类项得 4x<16 系数化为1,得 x<4

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下列解不等式过程是否正确，如果 不正确请给予改正。 x x 1 x 8 解：不等式 x 1 2 3 6 去分母得 6x-3x+2(x+1)<6-(x+8) 去括号得 6x-3x+2x+2 <6-x+8 移项得 6x-3x+2x-x<6+8+2 合并同类项得 4x<16 系数化为1,得 x<4

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改：

x x 1 x 8 解：不等式 x 2 3 1 6

去分母得 6x-3x+2(x+1)<6-(x+8) 去括号得 6x-3x+2x+2 <6-x-8 移项得 6x-3x+2x+x<6-8-2 合并同类项得 6x<-4 系数化为1,得 x< 23

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解不等式

解：

x 1 1 x 2 x 2 3 6 x 1 1 x 2 x 6 6 6 2 3 6 3x 3 2 2 x 2 x 4 x 7

① ② ③

7 ④ x 4 请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误。 两边同乘-6,不等号没有变号 在第 答：在第①步中_________________________, 移项没有变号 ， ②步中去分母时，应加括号 ________________,在第③步中 _____________ 正确 在第④步中_________ 。

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解下列不等式并用数轴表示解集：1、2(2x-3) <5(x-1) 2、10-3(x+6) ≤1

3、3(2x+5) >2(4x+3)

4、10-4(x-3) ≤2(x-1)

5、

1 (3 x ) 3 2

x x 2 1 5 6、 3 2

y 1 y 1 y 1 8、 3 2 6 9、2(3x-1) -3(4x+5) >x-4(x-7) x 4x 1 7 10、3〔x-2(x-1)〕≤4x 11、 5 3 8 2x 5 3x 2 1 7、 2 2

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解

一元一次不等式的步骤： 1.去分母(同乘负数时，不等号方向改变) 2.去括号 3. 移项 4. 合并同类项 5. 系数化为 1(同乘或除以负数时，不等 号方向改变).