全国中学生科技大赛参赛作品

的点Mi(cos8 i,sin8 i)(i 1, ,n)。

因为tan i Q(i 1, ,n)，由引理2.1知

sin2 i,cos2 i,sin4 i,cos4 i,sin8 i,cos8 i Q(i 1, ,n).

即这n个点的坐标均为有理数.则由引理2.2知，以其中任三个点为顶点的三角形的面积为有理。

下面证明其中任两点间的距离为有理数。由两点间距离公式有

MkMl 2|sin4( k l)| 2|sin4 kcos4 l cos4 ksin4 l| Q.

其次，连接MkMl和其它任意一个点Mm所构成的三角形 MkMlMm，有 MkMmMl 4| k l|或 4| k l|。于是

sin

2 sin2( k l) (sin2 kcos2 l cos2 ksin2 l) Q,

cos2( k l) (sin2 ksin2 l cos2 kcos2 l) Q,

cos2( k l) (sin2 ksin2 l cos2 kcos2 l) Q,

sin2( k l) (sin2 kcos2 l cos2 ksin2 l) Q. 或者 sin且 cos或者 cos 2 2

2

由引理2.3知 MkMmMl的角平分线是有理的。

这样我们证明了在单位圆上存在这样的n个点：其中任两个点的距离为有理数且以任三个点为顶点的三角形的面积均为有理数，并且以任三个点为顶点的三角形的角平分线也是有理的。再通过适当的相 似放大可变为整数，即：存在这样的圆，它上面有n个点：其中任两个点的距离为整数且以任三个点为顶点的三角形的面积和角平分线均为整数．而边长和面积均为整数的三角形是海伦三角形，定理得证。