x＝2， y＝0.

故圆C过定点(2，0)．

题型2 求圆的方程 例2 求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．

解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵ 圆心在y＝0上，故b＝0. ∴ 圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.

∵ 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点， （1－a）2＋16＝r2， ∴ 解之得a＝－1，r2＝20. 22

（3－a）＋4＝r，

∴ 所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.

(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵ 圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ 圆心C必在线

4－2

段AB的垂直平分线l上．∵ kAB＝＝－1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故

1－3

AB的垂直平分线l的方程为y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圆心在直线y＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴ 半径r＝|AC|＝（1＋1）＋420.故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d＝|PC|＝（2＋1）＋425>r.

∴ 点P在圆外．

备选变式（教师专享）

已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．

解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得b－1

1，

a＋2 a＝0，解得

b＝－1.b＋1a－2

＋1，22

|－4－11|

故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝3.

5

2

22 AB∵AB＝6，∴r＝d＋ 2＝18，

∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.

例3 在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.

(1) 求实数b的取值范围； (2) 求圆C的方程；

(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

解：(1) 令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2) 设所求圆的一般方程为x2＋ y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋ Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋ y2＋2x －(b＋1)y＋b＝0.

(3) 圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．

证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．

备选变式（教师专享）

已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、