第12章 联立方程估计与模拟_s

第十二章 联立方程模型的估计与模拟本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括

最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘 法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法 FIML和广义矩法GMM等估计方法。 联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一 些多元方法可以对系统进行估计，这些方法考虑到了方程 之间的相互依存关系。在估计了联立方程组的参数后就可

以利用不同的解释变量值对被解释变量进行模拟和预测。1

第12章 联立方程估计与模拟_s

12.1 联立方程系统概述本章将包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关 系的联立方程组称为“系统”(systems) ,可以利用12.2节介绍

的多种估计方法求解未知参数。本章的12.3节中将一组描述内生变量的已知方程组称为“模型”(model) ,给定了联立方程 模型中外生变量的信息就可以使用联立方程模型对内生变量进

行模拟、评价和预测。一般的联立方程系统形式是

f yt , z t , Δ ut

t =1, 2, , T (12.1.1)

其中：yt 是内生变量向量，zt 是外生变量向量，ut 是一个可能 存在序列相关的扰动项向量，T 表示样本容量。估计的任务是

寻找未知参数向量 的估计量。2

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例12.1

克莱因联立方程系统

克莱因(Lawrence Robert Klein )于1950年建立的、 旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观 计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的 发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型

大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。以至于萨缪尔森认为，“美国的许多模型，剥到当中，发现都 有一个小的Klein模型”。所以，对该模型 的了解与分析 对于了解西方宏观计量经济模型是重要的。 Klein模型是以美国两次世界大战之间的1920-1941年

的年度数据为样本建立的。3

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KleinⅠ模型：

CSt 0 1Pt 2 Pt 1 3 (Wt p Wt g ) u1tI t 0 1Pt 2 Pt 1 3 Kt 1 u2t

(消费)(投资) (私人工资) (均衡需求) (企业利润)

Wt p 0 1Yt 2Yt 1 3Timet u3t Yt Ct I t GtPt Yt Wt p TtKt Kt 1 I t

(资本存量) (12.1.2) 此模型包含3个行为方程，1个定义方程，2个会计方程。式中变量： 6个内生变量： 4个外生变量： Y:收入(GDP中除去净出口); G:政府非工资支出； CS:消费； Wg :政府工资； I:私人国内总投资； T:间接税收； Wp :私人工资； Time:时间趋势； P:企业利润； K:资本存量

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KleinⅠ模型框图政府工资 WG 政府支出 G

消

费CS

收入Y

投资I

私人工资WP

企业利润P

资本存量K

间接税收 T

注：方框内是行为方程内生变量，椭圆内是恒等方程内生变量，粗体是外生变量。5

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前3个方程称为行为方程，后面的3个方程称为恒等方程。这是一个简单描述宏观经济的联立方程模型。式(12.1.2) 中的前3个行为方程构成联立方程系统：

CS t 0 1 Pt 2 Pt 1 3 (Wt p Wt g ) u1t (消 费) ( 投 资) I t 0 1 Pt 2 Pt 1 3 K t 1 u2t p (私 人 工 资 ) Wt 0 1Yt 2Yt 1 3 At u3tt =1, 2, , T (12.1.3)

待估计出未知参数后，与式(12.1.2)中的后3个恒等方程一起组成联立方程模型。6

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在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量 仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系 统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变 量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，

在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类， 外生变量与滞后内生变量又被统称为前定变量。

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§12.2 联立方程系统的估计方法EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是单方程估计方法，使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方 程分别进行估计。第二类方法是系统估计方法，同时估计系 统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数 进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。

虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定 了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如

果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数 估计就会“传播”给系统中的其它方程。8

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建立和说明联立方程系统为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对 象并说明方程系统。单击Object/New Object/system或者在 命令窗口输入system,系统对象窗口就会出现，如果是第

一次建立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输入方程，当然也包含了工具变量和参数初值。 使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统 中的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。 例12.1含有三个行为方程的系统是这样的：9

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这里使用了EViews缺省系数如c(10)、c(20)等等，当然

可以使用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单上Object/New Object/Martrix-Vector-Coef/Coeffient Vector。 在说明方程时有一些

规则：10

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规则1方程组中，变量和系数可以是非线性的。可以通过在不同方程组中 使用相同的系数对系数进行约束。

规则2系统方程可以包含自回归误差项(注意不能有MA、SAR或SMA误 差项),每一个AR项必须伴随系数说明(用方括号，等号，系数，逗 号),例如： cs=c(1)+c(2)*gdp+[ar(1)=c(3), ar(2)=c(4)]

规则3如果方程没有未知参数，则该方程就是恒等式，即定义方程，系统 中不应该含有这样的方程。

规则4方程中的等号可以出现在方程的任意位置。

规则5应该确信系统中所有扰动项之间没有衡等的联系，即应该避免联立方程系统中某些方程的线性组合可能构成与某个方程相同的形式。11

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联立方程系统估计创建和说明了系统后，单击工具条的 Estimate 键，出现系统估计对话框，在弹出的对话框中选择估计方法和各个选项：

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联立方程系统残差协方差矩阵的形式下面的讨论是以线性方程所组成的平衡系统为对象的，但 是这些分析也适合于包含非线性方程的系统。若一个系统，含 有 k 个方程，用分块矩阵形式表示如下：

y1 X 1 y2 0 y 0 k

0 X2 0

0 δ1 u1 0 δ2 u2 X k δk uk

(12.2.1)

其中：yi 表示第 i 个方程的 T 维因变量向量，T 是样本观测值个 数，Xi 表示第 i 个方程的 T ki 阶解释变量矩阵，如果含有常数 项，则 Xi 的第一列全为1,ki 表示第 i 个方程的解释变量个数 (包含常数项), i 表示第 i 个方程的 ki 维系数向量，i=1, 2, … , k。13

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式(12.2.1)可以简单地表示为

Y XΔ u其中：设 m k i ,Δ δ1 i 1 k

δ2 δk 是m维向量。

(12.2.2)

联立方程系统残差的分块协方差矩阵的 kT×kT 方阵 V 大体有如下 4 种形式。本章的估计方法都是在这些情形的基 础上进行讨论的。 1. 在古典线性回归的标准假设下，系统残差的分块协方 差矩阵是 kT×kT 的方阵 V

V E uu 2 I k I T

(12.2.3)

其中：算子 表示克罗内克积(kronecker product),简称叉 积， 2 是系统残差的方差。14

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2. k个方程间的残差存在异方差，但是不存在同期相关 时，用表示第i个方程残差的方差，i=1, 2, …, k,此时的矩阵

形式为 12 I T 0 IT 0 0 2 2 IT 0 (12.2.4) 2 k IT 0 0

2 V diag 12 , 2 , , k2

其中diag ( )代表对角矩阵。

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3. k个方程间的残差不但是异方差的，而且是同期相

关 的情形，可以通过定义一个k×k的同期相关矩阵 进行描

述， 的第i行第j列的元素 ij =E(ui u j)。如果残差是同期不相关的，那么，对于i j,则 ij = 0,如果k个方程间的残 差是异方差且同期相关的，则有

11 I T 12 I T 1k I T 21 I T 22 I T 2 k I T V Σ IT I I I k2 T kk T k1 T

(12.2.5)

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4. 在更一般的水平下，k 个方程间的残差存在异方差、 同期相关的同时，每个方程的残差还存在自相关。此时残

差分块协方差矩阵应写成

11 Ω11 12 Ω12 21 Ω21 22 Ω22 V Σ Ω Ω k 1 k 1 k 2 Ωk 2

1k Ω1k 2 k Ω2 k (12.2.6) kk Ωkk

其中： ij 是第 i 个方程残差和第 j 个方程残差的自相关矩阵。

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12.2.1 单方程估计方法1.普通最小二乘法(Ordinary Least Squares , OLS)这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的 情况下，使每个方程的残差平方和最小。如果没有这样的参数

约束，这种方法和使用单方程普通最小二乘法估计每个方程式是一样的。 在协方差阵被假定为

V E uu 2 I k I T 时，最小二乘法是非常有效的。 的估计值为：

X X 1 X Y ΔLS

(12.9)

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2. 加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS)这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的 异方差性，方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未

加权的系统参数的估计值。如果方程组没有联立约束，该方法与加权单方程最小二乘法产生相同的结果。 加权最小二乘法的估计值为：

1 X ) 1 X V 1Y ΔWLS ( X V其中， VV 中的元素 i2 的估计值 sii 为

(12.2.10)

diag s11 , s22 , , skk I T 是 V 的一个一致估计量。 y X δ y i X i δi , LS i i i , LS T

sii

i =1, 2, , k

(12.2.11)19

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3.似乎不相关回归(Seemingly Unrelated Regression , SUR)该方法也称作多元回归法，既考虑到异方差性也考虑到不 同方程的误差项的相关性。 当方程右边的变量 X 全部是外生变量，残差是异方差和同 期相关的，误差协方差阵形式为 V = IT 时，使用SUR方法 是恰当的。进行广义最小二乘(GLS)估计，此时的Zellner SUR估计值为 ：

ΔSUR [ X ( Σ I T ) 1 X ] 1 X ( Σ I T ) 1Y 这里 Σ 是元素为 sij 的 的一致估计。

(12.2.17)

sij

[( y i X i δi , LS ) ( y j X j δ j , LS )] T20

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4. 方程含有AR项 如果第 i 个方程含有AR项，EViews估计下面方程：

yi ,t

X i ,t δi u i ,t ui ,t i ,1ui ,t 1 i , 2 u i ,t 2 i , pi u i ,t pi i ,tt =1, 2, , T (12.2.18)这里， i 是独立的，但方程之间存在同期相关。