模糊控制理论的基础

第三章 模糊控制的理论基础第一节 概 述

一、 模糊控制的提出

模糊控制理论的基础

以往的各种传统控制方法均是建立在 被控对象精确数学模型基础上的，然而， 随着系统复杂程度的提高，将难以建立 系统的精确数学模型。 在工程实践中，人们发现，一个复杂 的控制系统可由一个操作人员凭着丰富 的实践经验得到满意的控制效果。这说 明，如果通过模拟人脑的思维方法设计 控制器，可实现复杂系统的控制，由此 产生了模糊控制。

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二、模糊控制的特点 模糊控制是建立在人工经验基础之上 的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭 借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧 妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练 操作员的实践经验加以总结和描述，并用 语言表达出来，就会得到一种定性的、不 精确的控制规则。如果用模糊数学将其定 量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控 制理论。

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模糊控制理论具有一些明显的特点： (1)模糊控制不需要被控对象的数学模型。 模糊控制是以人对被控对象的控制经验为 依据而设计的控制器，故无需知道被控对 象的数学模型。 (2)模糊控制是一种反映人类智慧的智能 控制方法。模糊控制采用人类思维中的模 糊量，如“高”、“中”、“低”、 “大”、“小”等，控制量由模糊推理导 出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活 动的体现。

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(3)模糊控制易于被人们接受。模糊控 制的核心是控制规则，模糊规则是用语言 来表示的，如“今天气温高，则今天天气 暖和”,易于被一般人所接受。 (4)构造容易。模糊控制规则易于软件 实现。 (5)鲁棒性和适应性好。通过专家经验 设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有 效的控制。

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一、模糊集合 模糊集合是模糊控制的数学基础。 1.特征函数和隶属函数 在数学上经常用到集合的概念。 例如：集合 A 由 4 个离散值 x1 , x2 , x3 , x4 组成。A={x1,x2,x3,x4} 例如：集合A由0到1之间的连续实数值组成。

第二节 模糊集合

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A x, x R,0 x 1

以上两个集合是完全不模糊的。对任意 元素x,只有两种可能：属于A,不属于 A。这种特性可以用特征函数 A ( x)

来描述： 1 A ( x) 0 x A x A

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为了表示模糊概念，需要引入模糊集 合和隶属函数的概念：x A 1 A ( x) (0,1) x属于A的程度 0 x A

其中A称为模糊集合，由0,1及 A ( x )构成， 表示元素 A ( x )x属于模糊集合 A的程度，取值 A ( x) 范围为[0,1],称 为x属于模糊集合 A的 隶属度。

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2. 模糊集合的表示①

A 1 / x1 2 / x 2 i / xi 或 A ( x1 , 1 ), ( x 2 ,

2 ), , ( x i , i ),

模糊集合A由离散元素构成，表示为：

② 模糊集合 A由连续函数构成，各元素的 隶属度就构成了隶属度函数(Membership Function),此时A表示为：

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A A ( x) / x在模糊集合的表达中，符号“ /” 、 “ +” 和“ ∫ ”不代表数学意义上的除号、 加号和积分，它们是模糊集合的一种表 示方式，表示“构成”或“属于”。模糊集合是以隶属函数来描述的， 隶属度的概念是模糊集合理论的基石。

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例 3.2 设论域 U={ 张三，李四，王五 } ,评 语为“学习好”。设三个人学习成绩总评 分是张三得 95分，李四得90分，王五得85 分，三人都学习好，但又有差异。若采用普通集合的观点，选取特征函数

1 C A (u ) 0

学习好 A 学习差 A

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此时特征函数分别为(张三)=1,(李四)=1, ( 王五 )=1 。这样就反映不出三者的差异。假 若采用模糊子集的概念，选取 [0 , 1] 区间上 的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子 集 A 的程度，就能够反映出三人的差异。采 A ( x) x,由三人的成绩 / 100 用隶属函数 可知三人“学习好”的隶属度为 ( 张三 )=0.95, ( 李四 )=0.90 , ( 王五 )=0.85 。用“学习好”这 一模糊子集A可表示为：

A {0.95,0.90 ,0.85}

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其含义为张三、李四、王五属于“学习 好”的程度分别是0.95,0.90,0.85。 例3.3 以年龄为论域，取 X 0,200 。Zadeh给 出了“年轻”的模糊集Y,其隶属函数为0 x 25 1 2 1 Y ( x ) x 25 25 x 100 1 5

通过Matlab仿真对上述隶属函数作 图，隶属函数曲线如图所示。

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1 0.9 0.8Degree of membership

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

20

40

60 X Years

80

100

120

图 “年轻”的隶属函数曲线

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二、模糊集合的运算1 模糊集合的基本运算

由于模糊集是用隶属函数来表征的， 因此两个子集之间的运算实际上就是逐 点对隶属度作相应的运算。(1)空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属 度为0,即

A A (u) 0

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(2)全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度 为1,即

A E A (u ) 1

(3)等集两个模糊集 A 和 B ,若对所有元素 u , 它们的隶属函数相等，则 A 和 B 也相等。 即 A B (u ) (u )A B

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(4)补集 若 A 为A的补集，则

A A (u) 1 A (u)例如，设 A 为“成绩好”的模糊集， 某学生 u 0 属于“成绩好”的隶属度为： A (u 0 ) 0.8 则 u 0 属于“成绩差”的隶属度

为：

A (u 0 ) 1 0.8 0.2

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(5)子集若B为A的子集，则

B A B (u) A (u)(6)并集 若C为A和B的并集，则 C=A

∪B 一般地，

A B A B (u) max( A (u), B (u)) A (u) B (u)

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(7)交集若C为A和B的交集，则

C=A∩B一般地，

A B A B (u) min( A (u), B (u)) A (u) B (u)(8)模糊运算的基本性质 模糊集合除具有上述基本运算性质 外，还具有下表所示的运算性质。

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运算法则1.幂等律

A∪A=A,A∩A=A2.交换律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A3.结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

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4.吸收律A∪(A∩B)=A

A∩(A∪B)=A5.分配律

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)

6.复原律

A A