24华侨大学学报(自然科学版) 2005年

改进了参数a的估计量^ .^a重新定义为

-1

*

a=e^1+D(^a),

2

其中D(^a*)为^a*的方差,其它参数的估计量不变.此时多种投入要素的生产函数的回归形式为

^a

*

(7)

y=e

a^

*

1+D(^a*)

2

-1

^ ^ x^ 11x22 xnn.

(8)

(3)方法3.文 2 提出一种新方法,是先根据方法1利用最小二乘法估计出^ 1, ,^ n.然后将^ 1, ,^ n代入模型(1),并忽略随机扰动项e .设产出为y,再直接利用最小二乘法求出^a,使残差平方和Se1达到最小.即Se1=j= 1(yj-y^j) min,可得

a=^

yj xiji

j=1i=1

j=1i=1m

n

m

2

^

(

mn

^i2x ij)

.(9)

此时,多种投入要素的生产函数的回归形式为

^ ^

y=^ax^ 11x22 xnn.

(10)

2 参数估计方法的进一步改进

2.1 参数估计的两种方法

上述3种方法均是对非线性模型利用变换化为线性模型的方法,再利用最小线性二乘法估计其中

的参数.显然,这些方法估计出来的参数并未使得回归残差平方和

Se2=j= 1(yj-y^j)2 g(a, 1, 2, , n)

m

(11)

最小.本文提出参数a, 1, , n估计的两种新方法.其中一个新方法(本文称之为方法4)是利用求解无约束优化的拟牛顿法 3 (BFGS公式、DFP公式),直接求a, 1, , a,^ n的估计量^1, ,^n,使得式(11)达到最小.另一个新方法(本文称为方法5)是采用改进的遗传算法,求a, 1, , n的估计量^a,^ 1,

,^ n,使得式(11)达到最小.2.2 方法4的实现

即利用拟牛顿法估计参数的实现.这种方法在数学软件十分发达的今天,实现之非常容易.例如,在Matlab中就可用Leastsq函数或利用Nlinfit函数,实现a, 1, , n的估计.由于式(11)为非线性函数,故这种方法我们称之为非线性最小二乘法.

2.3 方法5的实现

遗传算法(GeneticAlgorithms,简称GA),它是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的优化方法.它只要求被优化的函数是可计算的,不要求目标函数具有连续可微性.这是一种并行式的多点搜索过程.因此,遗传算法具有简单通用、鲁棒性强、适于并行处理以及高效、实用等显著特点.但由于简单遗传算法中存在着一些问题,如收敛速度太慢,容易陷入局部最优等缺陷.为此,我们可以在简单遗传算法中作如下改进(图1).(1)人工方法产生初始种群.先将优化问题的一个近似最优解作为初始种群的一个个体.一种

图1 改进的遗传算法流程图

4

方法是先利用基本遗传算法求其近似最优解,该近似最优解作为初始种群的一个个体.(2)进行适应度

变换.在遗传算法的早(后)期阶段,对个体的适应度进行适当的缩小或(放大).改变个体之间的差异程度,以维护群体的多样性(提高个体之间的竞争性).(3)优选父代进行交叉.进行 优 、 优 交叉或者进行 差 、 差 交叉,即适应度较高的个体之间进行交叉或适应度较低的个体之间进行交叉.产生更好的.(