(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(4)

n N，都有an 1

pan q

（其中p、q、r、h均为常数，且

ran h

hpx q

ph qr,r 0,a1 ），那么，可作特征方程x .

rrx h

（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，

若a1 ,则an ,n N; 若

a1

，则

an

1

,n N,bn

其中

bn

1r

当存在n0 N,使bn0 0时， (n 1),n N.特别地，

a1 p r

无穷数列{an}不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根

1、 2（称作特征根）时，则

an

2cn 1

cn 1

，n N,

其中cn

a1 1p 1rn 1

(),n N,(其中a1 2).

a1 2p 2r

an 4

,且a1 3,求

2an 3

例3、已知数列{an}满足性质：对于n N,an 1

{an}的通项公式.

解:依定理作特征方程x

x 4

,变形得2x2 2x 4 0,其根为2x 3

1 1, 2 2.故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，

则有

cn

a1 1p 1rn 13 11 1 2n 1

() (),n N.

a1 2p 2r3 21 2 2