(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(3)

2

an 1 an (b a)()n 1。把n 1,2,3, ,n代入，得

3

a2 a1 b a，

2

a3 a2 (b a) ()，

32

a4 a3 (b a) ()2，

3

2

an an 1 (b a)()n 2。

3

把以上各式相加，得

21 ()n 1

222an a1 (b a)[1 () ()n 2] (b a)。

2333

1 3

22

an [3 3()n 1](b a) a 3(a b)()n 1 3b 2a。

33

解法二（特征根法）：数列 an ：3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)，

a1 a,a2 b的特征方程是：3x2 5x 2 0。

x1 1,x2

2, 3

2n 1

A B ()n 1。 an Ax1n 1 Bx2

3

又由a1 a,a2 b，于是

a A B

A 3b 2a

2

b A B B 3(a b) 3

故an 3b 2a 3(a b)()

2

3

n 1

三、(分式递推式)定理3：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于