(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(10)

∴bn b1 (n 1)

r

,n N. p r

其中b1

11 . d1a1

1

,n N. bn

当n N,bn 0时，an dn

当存在n0 N,使bn0 0时，an0 dn0 无穷数列{an}是不存在的.

再证明定理的第（2）部分如下：

1

无意义.故此时，bn0

∵特征方程有两个相异的根 1、 2，∴其中必有一个特征根不等于a1，不妨令 2 a1.于是可作变换cn

an 1

,n N.

an 2

故cn 1

an 1 1pan q

，将an 1 代入再整理得

an 1 2ran h

cn 1

an(p 1r) q 1h

,n N ⑤

an(p 2r) q 2h

p

不是特征方程的根，故r

由第（1）部分的证明过程知x

1

pp, 2 . rr

故p 1r 0,p 2r 0.所以由⑤式可得：

cn 1

q 1h

p 1rp 1r ,n N ⑥

q 2hp 2r

an

p 2r

an