2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

x2y2

5. 设F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，

94

则三角形 PF1F2的面积等于(A)．

(A)4 (B)13 (C) 42 (D) 132

解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而2＋4＝(2)，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4． 6. 已知x,y,z R,且

2

2

2

123yz

1,则x 的最小值是( D ) xyz23

(A)5 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7.如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( )

(A)62π (B)63π (C)64π (D)65π

解析：设ABCD为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60由圆内接四边形对角互补得∠C=180º－∠A

连结BD，在△ABD与△BCD中,由余弦定理,得:

BD2 AB2 AD2 2AB ADcos A＝CB2 CD2 2CB CDcos C

2222

即25 60 2 25 60cos A＝39 52 2 39 52 cos A

解得cos∠A=0∴∠A=90º，故BD为圆的直径

22

BD 25 60 65∴圆的周长为65π ∴

xyzt8.已知整数x、y、z、t满足x y z t，且2 2 2 2 1314，则x y z t

等于 ．

解：答案：24．∵2x 2y 2z 2t 2x(1 2y x 2z x 2t x)，括号内为奇数， 又１３１４＝2 657，∴x 1且2

1

y x

2z x 2t x 656；由于656＝24 41，可得

y-x 4且2z y 2t y 40，∴y 5；同理可得z 8,t 10．∴x y z t＝２４．9.已知数列n项和，则

an 满足a1 2，a2 5，an 2 an 1 an (n N*)， Sn是数列 an 的前

的值是

S2008

解：答案：８．数列 an 的各项依次为２，５，３，－２，－５，－３，２，５，…，呈