2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

又看|A1 A2 A3 A4| |A1 A2 A3 A4| |A1 A2 A3 A4| |A2 A3 A4| ( |Ai|

i 144

1 i j 4

|Ai Aj|

4

1 i j k 4

|Ai Aj Ak| | Ai|)

i 1

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|A1| |A1 A2| |A1 A3| |A1 A4| |A1 A2 A3| |A1 A2 A4| |A1 A3 A4| | Ai| 235 59 29 15 6 138

i 14

可是|A1 A2 A3 A4| 139 46 3 1由抽屉原理知46个国家中必存在一个国家，至少4人只做对第一题。

14. MJ0002 如图,四边形ABCD为平行四边形, E

P

∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.

证明：如图,分别过点A、B作ED、EC

的平行线,得交点P,连PE.

BF 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有

＝图2

PA＝ED,PB＝EC.

显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 ∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE. 由∠BAF＝∠BCE,可知

∠BAF＝∠BPE.

有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE.

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.

x4 kx2 1

15. 设k是实数，f(x) 4对任意三个实数a,b,c存在一个以f(a),f(b),f(b)为

x x2 1

三边长的三角形，求k的取值范围 解：①f(x) 0恒成立

x4 kx2 1 0 令t x2

对称轴 t

k 2

k 0,

k 0，min 0 2 k 0

(k 1)x2

② 最小值两倍>最大值 f(x) 1 4 2

x x 1

k 1

f(x) 1