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第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合 1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素a属于集合M, 记作 a M 元素a不属于集合M, 记作 a M

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2、集合的表示法列举法描述法

A {a1 , a2 , , an }M {x x所具有的特征}

3、集合间的关系若x ∈ A, 则必x ∈ B, 就说A是B的子集.记作 A B.

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例1 数集

N----自然数集 Q----有理数集

Z----整数集R----实数集

它们间关系:

N Z , Z Q, Q R.

若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B)

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例2

A {1, 2},则A C.

C {x x 2 3 x 2 0},

不含任何元素的集合称为空集，记作 例如, {x x R, x 2 1 0} 规定 空集为任何集合的子集.

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4、运算设A、B是两集合,则

交 “A B” {x x A且x B} 并 “A B” {x x A或x B}

差“A-B” {x x A但x B}补(余) Ac I-A (其中 I 为全集).

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5、其运算律(1) A B = B A A B=B A (2)(A B) C = A (B C) (A B) = A (B C) (3)(A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C)

(4) ( A B)c Ac Bc , ( A B)c AC BC

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注:

A与B的直积 A B {(x, y) x A 且 y B}例如：R R = {(x, y) x R 且 y R} 表示xoy面上全体点的集合 R R常记为 R2

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2、区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个 实数叫做区间的端点. a, b R, 且a b.{x a x b} 称为开区间,

记作 (a, b)

o

a

b

x

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{x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b]

o

a

b

x

{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a, b)

{x a x b}称为半开区间, 记作 (a, b]有限区间

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无限区间：

[a, ) {x a x}

( , b) {x x b}

o

a ob

x x

区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

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3、邻域设a与 是两个实数 , 且 0.数集{x x a }称为点a的 邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .

记作 U (a) {x a x a }.

a

aa

x

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点a的去心的 邻域 , 记作U 0 (a).

U 0 (a) {x | 0 x a }注意：邻域总是开集。

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二、映射 1、概念设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对

X中每个元素x,按法则 f,在Y中有唯一确

定的元素y与之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f :X→Y . 其中y称为元素x(在映射f下)的像，记作f(x),即y=f(x)

元素x称为元素y(在映射f下)的原像集合X称为映射f的定义域,记作Df ,即Df=X

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X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作Rf或 f(X),即 Rf f ( X ) { f ( x) | x X }. 注: 1。构成映射的三个要素: 集合X,即定义域Df =X; 集合Y,即值域的范围:Rf Y; 对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应.

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2。对每个x∈X,元素x的像是唯一的; 而对每个y∈Rf ,元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个子集, 即Rf Y, 不一定Rf =Y. 但定义域一定等于集合X. f X x x2 Rf y

Y

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例3 设f:R→R,对每个x∈R, f(x) = x2.显然，f是一个映射，f的定义域Df=R值域Rf = { y | y≥0}, 它是R的一个真子集. 对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像 不是唯一的. 如 y = 4的原像就有 x = 2,x = -2两个. 例4 设 X ={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|≤1},f :X→Y,对每个

(x,y)∈X,值域Rf = Y.在几何上,这个映射表示把平面上一个圆心在原点的单位 圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上.

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定义 设f是从集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任 一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或 满射; 若对X中任意两个不同元素x1≠x2它们的像 f(x1)≠f(x2),

则称f为X到Y的单射(或“如果f(x1)=f(x2),就有x1=x2); 若映射f 既是单射，又是满射，则称f 为一一映射(或双 射).

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例4中的映射，既非满射(y =-2,不是X中的某元素的像),又非单射(x1=2,x2=-2,它们的像相等). 例5的映射不是单射,是满射.(Y[-1,1]表示满射, X:(x =0,y=1)→Y:(0,0) X:(x =0,y =-1) →Y:(0,0));

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映射又称算子，在不同的数学分支中，有不同的惯用名称：

从非空集X到数集Y的映射称为X上的泛函.从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集X到实数集Y的映射通常称为定义在X 上的函数.

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2.逆映射与复合映射 1)逆映射设f是X到Y的单射,则对每个y∈Rf ,有唯一的x∈X

适合f(x)=y,定义一个新的映射g:Rf→X,对每个y∈Rf ,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1. 定义域Df-1=Rf ,值域Rf-1=X

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注：只有单射才存在逆映射. 因为从X→Y对Y要求唯一的,而Y→X又是唯一的, 故只有单射.