所以cosC (2cos2 1)，即2cos2C cosC 1 0， 因为C为△ABC内角，所cosC 1 0，cosC 由0 C π，得C

π3

12

．

．

（Ⅱ）c 2RsinC

又由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC， 即12 a2 b2 ab,

又a2 b2 ab 2ab ab ab， 所以ab 12.

12

4

所以有S ABC

absinC ab

当且仅当a b即△ABC为等边三角形时，△ABC

的面积取得最大值

31．解法一：连接BD，设AC BD O，如图建立空间直角坐标系. （Ⅰ）设AB

a，则SB

，SO

2a，

∴

S

(0,2

，D(

2

,0,0)，C22

0)，

.

∴

OC (0,

2

,0)，SD (

2

,0,

∵ OC SD 0，

∴ AC SD.

（Ⅱ）平面PAC的一个法向

量DS 2

2

,0,，平面DAC的一个法向

量

OS (0,).

2

设二面角P AC D的平面角为 ，

OS DS∵

cos ，

2OSDS

∴ 二面角P AC D的大小为30 .

（Ⅲ）侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC．

由（Ⅱ）得DS是平面PAC

的一个法向量，DS ,2

设 CE CS，

则

BE BC CE BC CS (

2

，CS (0,

2

2

．

2

,

2

(1 2

，

而 DS BE 0，解得

13

．

SE:EC 2:1即当时，DS BE，

∵ BE 平面PAC， ∴ BE∥平面PAC． 解法二：

（Ⅰ）设点S在平面ABCD上的正投影为O，连结SO，BD． ∵ S ABCD是正四棱锥，

∴ SO 平面ABCD，

∴ BD是SD在平面ABCD上的正射影． ∵ ABCD是正方形， ∴ AC BD，

根据三垂线定理，得AC SD. （Ⅱ）连结OP.

∵ S ABCD是正四棱锥，

∴ APD≌ CPD， ∵ O是AC的中点，

∴ AC OP. 又 AC OD，

∴ POD是二面角P AC D的平面角. 设AB

a，则SD

，SO

2.

∵ SD 平面PAC， ∴ OP

SD，且OP

SO ODSD

4a.